38. — sur l’arithmétique pythagoricienne. 199 
ni quelque perfectionnement sérieux dans le mode d’exposition 
de ce qui était connu avant eux; bien au contraire, l’absence 
de toute démonstration réelle, l’appel constant à l’intuition ou 
à l’induction, sont des signes qui marquent que le niveau des 
études baisse au lieu de s’élever. 
Pour être juste à leur égard, il convieut de remarquer que 
sans doute ils n’avaient pas de modèle qui put les guider, du 
moment où ils n’adoptaient pas la forme euclidienne, c’est-à-dire 
l’appareil géométrique pour la démonstration des propriétés des 
nombres. Cet appareil fut adopté dès la rédaction des plus 
anciens Eléments arithmétiques (bien antérieurs à Euclide) parce 
qu’il était déjà connu et familier, parce qu’on n’en avait pas 
d’autre. Thymaridas ouvrit une voie nouvelle, et quand on étudie 
dans Aristote le symbolisme des lettres employées pour repré 
senter des objets de la pensée, on doit se dire qu’il ne fallait 
alors qu’un pas aux Grecs pour arriver à l’algorithme de Viète. 
Ce pas, c’était aux Pythagoriciens, semble-t-il, qu’il incombait de 
le faire; ils faillirent à leur rôle et usèrent leurs efforts dans des 
rêveries mystiques sans issue. 
Si l’un d’eux était parvenu à composer un Traité d’Arithmé- 
tique, dont les propositions fussent rigoureusement démontrées 
sans recours à l’appareil géométrique, ce Traité serait sans aucun 
doute devenu classique et aurait fait oublier les Livres arithmé 
tiques d’Euclide ; des Ouvrages comme ceux de Nicomaque et 
de Jamblique n’auraient pas eu le succès qu’ils ont eu, bien plus 
ils n’auraient sans doute pas été écrits ; enfin Diophante, au lieu 
appartenant, l’invention de notre Table de multiplication à double entrée ; 
rien n’est moins exact. Si d’ailleurs il s’étend longuement sur les relations 
des nombres de cette Table, il n’est nullement prouvé qu’elle ait été employée 
dans l’antiquité pour un but pédagogique; en tout cas, Nicomaque suppose 
le calcul connu de ses lecteurs.