Punkte ohne Unterschied harmonische, aber A und X, sowie 
X { und Y y einander zugeordnete (eonjugirte). — 
Harmonische Punkte sind also in unserer Figur: 
(A 7, XX,), (B T 2 XX,), (GY, XX.j). 
Multiplicirt man 
B 
mit A und B, so folgt: 
a B = 
AB 
a a 
BA 
also: 
C\ B : C'j A = m : n. 
Multiplicirt man andrerseits 
X 3 = A + — 
ö m -f- n 1 m -f" n 
B 
mit A und B, so folgt: 
X 3 B 
also: 
folglich 
m -f- n 
X,B: 
AB 
il, = 
m -(- n 
AB: 
A X 3 = m 
C l B:C\A=X,B:AX 3 - 
d. h.: auch die Strecke (A —• B) wird durch die Funkte C x 
und X ?j harmonisch getheilt. 
Die vom Punkte X 2 durch die harmonischen Punkte A, 
Yy, X i} X gezogenen Geraden schneiden also auch die Ge 
rade (A B) in harmonischen Punkten. Und da sowohl der 
Punkt X 2 , als die Gerade (AB) (abgesehen vom Punkte A) 
von der Lage der vier Punkte (A X Yy X,) unabhängig sind, 
so hat man den Satz: Die aus einem beliebigen Funkte der 
Ebene durch vier harmonische Funkte gezogenen Geraden 
schneiden jede beliebige durch einen derselben gezogene Gerade 
ebenfalls in harmonischen Funkten. 
Die aus einem Punkte der Ebene durch vier harmonische 
Punkte gezogenen Geraden heissen daher harmonische Stralen. 
Specieller Fall. Sind zwei der Zahlen m, n, p, z. 13. m 
und n, einander gleich, so ist Cy — oo, d. h. unbestimmbar; 
und die Geraden (X 2 X,) und (AB) sind parallel. Dann 
ist aber X 3 = ^ ; d. h.: die von einem beliebigen Funkte 
der Ebene nach den Endpunkten, dem Mittelpunkte einer Strecke 
und parallel mit ihr gezogenen Geraden sind harmonisch.