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Aufgaben: 1) Zu beweisen, dass die Mitten der Dia-120. 
gonalcn eines vollständigen Vierecks in einer Geraden liegen. 
In 114. ist, wenn ABCX die Ecken des Vierecks, und 
(A — D), (C— X), (Xj — X 2 ) die drei Diagonalen sind: 
M - A + v. 
1YL \ — 0 '5 m 2 o 5 
(Xi + X 2 ) 
Es ist zu zeigen, dass zwischen M x M 2 Mo eine Zahlbeziehung 
existirt. Nun hat man: 
2 M x = J. + I?; 
2 M 2 = mA + nB -f (P + 1) C\ 
2 m = + J°M + w(p + m) B -f [2p 2 + (m + w) p] 6' # 
3 (m + p) (w 4" P) 5 
oder, da m n -f- p = 1 ist: 
2(1—m) (1 — n)M 3 = m(l — m)A-\-n{ 1 -n)B-\- p{\-\- p)C 
= m (1 — m)A -f- n (1 — w) 1» -f- P (2 M 2 — mA — nB) 
= m(l — m — p)A-\-n(\ — n — p) B -f- 2pM 2 
= mn {A -j- B) -f- 2 pM 2 
= 2 mnM x -f- 2 p M 2 ; 
oder: 
(1 — m) (1 — n) M z = mnM x -f pM 2 -, w. z. b. w. 
2) ZÄ man in einem Dreieck ABC aus den Ecken 121. 
drei Geraden, die sich in einem Funkte F schneiden, und aus 
den Mitten der drei Seiten des Dreiecks Parallelen mit den 
Theilungslinien der gegenüberliegenden Winkel, so schneiden 
sich diese Parallelen gleichfalls in einem Funkte 7t; ferner liegt 
der Mittelpunkt S des Dreiecks mit 71 und F in gerader Linie, 
und zwar von erstcrem halb so weit entfernt, als vom letzteren. 
Man hat: 
s , __ A + B + C 
Ö ~ 3 5 
sei nun: 
] J =uA + (iß + yC-, (a + ß + y= 1); 
ferner: 
Dann ist einerseits: 
« (P - Ä) + ß (P- B) + y (F - C) = 0; 
andrerseits: 
Schlegel, Syst, d, Raumlehre. 
G