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ßi Ts)
abc — e { c 2 e 3 [«, (ß 2 y 3 — /UjV> + cc 2 (ß 3 y l
+ “Äßi 7-2 — ß 2 ri)]-
Es kommt nun nur noch darauf an, das Product der drei
Punkte e 4 e 2 e 3 zu bestimmen.
Unter dem Producte dreier Punkte e { , e 2 , c 3 (e l e.,e 3 ) ver
stehen wir einen Flächentheil (Theil der Ebene) ; welcher mit
dem Parallelogramm (e l e 2 — e 3 e 4 ), worin (e 4 — e 2 ) = (e 3 — e 4 )
ist, gleiche Grösse und Seite hat.*)
Anm. Das Parallelogramm erscheint also als Lagenunterschied
zweier Linientheile, der Flächentheil als Theil der durch diese Linien-
theile bestimmten Ebene. Das Parallelogramm ist eine arithmetische
Grösse, der Flächentheil ein reines Ausdehnungsgebilde.
Es sind nun folgende Fälle möglich:
1) a,b, c sind vielfache Punkte; dann ist (ab c) ein
vielfacher Flächentheil.
2) b und c seien Punkte, a eine Strecke (== c — d).
Dann ist
abc — (c — d) b . c — — dbc;
d. li.: abc ist ebenfalls ein Flächentheil.
3) b und c seien Strecken, a ein Punkt; [b = a
(c — a — e); dann ist:
ab c — a(ct — d) (a — e) — a de,
und ab e wieder ein Flächentheil.
4) a, b, c seien Strecken, a = (d — e); b — (d
c = (d — g). Da aber zwischen drei Strecken in derselben
Ebene stets eine Zahlbeziehung besteht, so ist in diesem
Falle das Product ab c = 0.
Ueberhaupt ist das Product iii allen Fällen Null, wenn
zwischen den drei Grössen abc eine Zahlbeziehung besteht;
d. h. in 1) wenn die drei Punkte, in 2) wenn die zwei Punkte
mit der Strecke in derselben Geraden liegen, in 3) wenn die
beiden Strecken parallel sind. — Alles dies ergiebt sich durch
Untersuchung der Beziehungen zwischen den Zahlen aß y.
Bezeichnen wir das Parallelogramm (e, — oder lto.
(e { e 2 ) — (e 3 e 4 ) mit S, sodass
. S = 0, — e 2 ) = (e 4 e 2 ) — (e 3 e 4 ).
Dann ist:
«0;
f)\
*) Vgl. G. A. I. § 114. 115.
Schlegel, Syst. d. Raumlehre.