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d. h.: wenn das Product zweier Grössen progressiv, so ist 
dasjenige ihrer Ergänzungen regressiv. — Man kann nun 
für beide Arten der Multiplication dasselbe Klammerzeichen 
wählen. Und für beide gilt der Satz: Die Ergänzung eines 
Products ist gleich dem Productc der Ergänzungen seiner 
Factoren. 
Führen wir in der ersten unserer obigen Formeln statt 
a und b die Grössen e ein, so folgt: 
[0u 2 ) (c 2 c 3 )] = I 0s e i) = e 2 = (e, e 2 e 3 ) . e 2 . 
Das progressive Product zweier Grössen 1 ter Stufe ‘ war von 
2 ler Stufe] das regressive Product zweier Grössen 2 tei ' Stufe 
ist, wie man sieht, von l ler Stufe. 
2) Ist a = e x e 2 ; | a = e 3 ; 
& = M 3 5 l^ = — c 2 ; 
so folgt aus (ab) — \ f a \ b): 
\(c { c 2 ) . ie x ejj\ = I (— e 3 e 2 ) = | (e 2 e 3 ) = e, = e 2 e 3 ) e,. 
3) Ist 
e, e. 
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— e., 
so erhält man: 
[0i e 3 ) . (e 2 e 3 )j = | (- 
Wenn 
e, e. 
3 ) 
6 = V, 
e 2 ef) = I (e l ej) = e 3 
a == -f- a 2 e 2 -f- a 3 e 3 ; 
. b = ß i c l + ß 2 e 2 -j- ß 3 c 3 ; 
dann ist: 
(ab)—(cc i ß 2 — a 2 ß,)e, c 2 
( 0i ‘ 2 ßi a 3 ß 2 ) C 2 C 3 
+ («s/ 3 i— «t0 3 )<W 
I 0&) = (ß,/3 2 — « 2 ^,)6' 3 
+ («2 03 — « 3 0 2 )C| 
+ (« 3 0t — «i0 3 K; 
!(«*)“ 
Ol C 2 e 3 ) e 3 • 
also : 
I a = '«i 0 2 c 3 ) + « 2 0 3 ßj ) + «3 Oi c 2 ) 
& = ßi 02 6 ’ 3 ) + ß2 0 3 C,) + 0 3 Ol e 2 ) ; 
^ = Oi0 2 — « 2 ^i)e 3 
+ («2 03 — «3 0 2 ) C t 
H- («3^1 — M 3 )v, 
b. 
Wenden wir nunmehr die vorstehenden Resultate auf 144. 
das Gebiet der Ebene als Hauptgebiet an. Ein Product im 
Hauptgebiet der Ebene heisst planimetrisches Product. 
Das Product zweier sich schneidender Linientheile ist 
regressiv und dem Durchschnittspunkte gleich.