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gleichzeitigen Bestrebungen in der Mathematik weit entfernt, 
und die räumlichen Anwendungen kamen meist nur der Ele 
mentar-Geometrie zu Gute, welche damals noch unerschüttert 
auf der Euklidischen Basis thronte. •— Aus der Wahrnehmung 
dieser Schwierigkeiten ging nun eine neue Bearbeitung der 
Ausdehnungslehre hervor, die gleichzeitig einen zweiten (schon 
in der ersten Ausgabe in Aussicht genommenen) Theil um 
fasste, und im Jahre 1862 erschien. Hier sehen wir den 
ganzen Stoff in die mehr gegliederte Form von Lehrsätzen 
und Beweisen gebracht. Aber wenn auch dadurch eine dem 
Mathematiker geläufigere Form der Darstellung erreicht war, 
so hatte doch die Sache selbst wenig gewonnen, da die neue 
Form den Ueberblick über das ganze System wesentlich er 
schwerte, und die Beweise in ihrer nothwendigen Länge un- 
gemein ermüdend waren. So hat denn bisher auch diese 
zweite Bearbeitung die Zahl der Freunde dieser neuen Wissen 
schaft, soweit mir bekannt geworden, nicht erheblich ver 
mehrt. — Gleichwohl deuten alle Anzeichen darauf hin, dass 
die Zeit, wo dieselbe in die Entwickelung der Mathematik 
eingreifen wird, nicht mehr fern ist. — Die neueren Methoden 
der analytischen Geometrie nähern sich schon vielfach den 
Ideen der Ausdehnungslehre, und von den symbolischen Punkt 
gleichungen Hesse’s ist beispielsweise nur noch ein Schritt 
bis zu den Punktgrössen Grass mann’s.*) Auch sonst sind 
in manchen Fällen von Anderen dieselben oder ähnliche Re 
sultate gefunden worden, wie sie an weniger beachteten Stellen 
der G ras s mann’sehen Schriften niedergelegt sind. Vom 
Standpunkte der höheren Geometrie aus ist. neuerdings eben 
falls das Gebiet der n Dimensionen betreten worden, und 
die elementare Geometrie, die den nächsten und grössten 
Nutzen aus den Anwendungen der Ausdehnungslehre zu ziehen 
berufen ist, sucht sich aus den Fesseln des Euklid’schen Sy 
*) Diese nahe Beziehung fiel mir besonders auf, als ich eine mit 
den Methoden der neueren Geometrie (1865) ausgeführte Arbeit über 
zwei reciproke Oberflächen nach den Principien der Ausdehnungslehre 
umarbeitete (Schulprogramm Waren 1871). — Ygl. auch z. B. Nr. 167 
—172 des vorliegenden Buches mit der Darstellung desselben Gegen 
standes bei Hesse, Yorlesgn. aus d. anal. Geom. d. geraden Linie 
(Leipzig 1865) S. 51—59.