1) Aus den Formeln: x 2 -\- y 1 — 15 x = cos cc; y = sin a 
folgt sogleich: 
cos 2 a sin 2 a — 1. 
2) Sei i Ui — x x -f- iy { ; ii ii — x 2 + ¿«/ 2 ; « a ‘+/*i = # -}- ¿«/; 
dann ist: 
* + * V = (»1 + ¿2/1) 0 2 + 2 2/2) = Ol^2 — 2/l 2/2) + 2 (2/l ^2 + 2/2) > 
folglich: 
x = x x x 2 — y i y 2 -, y = y { x 2 + x x y 2 -, 
oder: 
cos (a -f- /3) — cos « cos /3 — sin a sin ß; 
sin (a -f- /3) = sin « cos ß -f~ cos a sin ß. 
3) Setzt man in den Ausdrücken: 
i a + i~ a 
cos a = 5 
(— a) für a, so folgt: 
cos a = 
. <1 ** £ 
sin (— a) = — — sin K • 
4) Setzt man in 2) ß negativ, so folgt: 
cos (« — ß) — cos a cos ß -f- sin a sin ß- 
sin (a — ß) = sin a cos ß — cos a sin ß. 
5) Setzt man in 2) x l — x 2 ; y x — y 2 , also cc = ß, 
so folgt: 
x^xf — yf-, y = 2a?,y,; 
oder: 
cos (2 cc) = cos 2 a — sin 2 cc; sin 2 a = 2 sin cc cos cc. 
6) Da xß yß — und nach 5) x 2 — yß — x, 
so folgt: 
l — x 
2 
oder: 
oder • 
7) Setzt man in den Ausdrücken für cos cc und sin cc 
statt cc die Werthe 0, 1, 2, so folgt: