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stems zu befreien, um mit der neueren Geometrie die noch 
immer entbehrte und doch so sehr nöthige Fühlung zu ge 
winnen. Endlich hat es in jüngster Zeit auch nicht an be- 
achtenswerthen Stimmen gefehlt, welche der neuen Wissen 
schaft ihre Anerkennung, ja selbst Bewunderung zollten.*) 
Unter diesen Umständen habe ich es in vorliegender 
Arbeit unternommen, die Ausdehnungslehre auf die räum 
lichen Gebiete anzuwenden, oder mit änderen Worten: diese 
Wissenschaft, anstatt für ein Gebiet von n, für die Gebiete 
von 0, 1, 2, 3 Dimensionen zu behandeln. Der Vortheil, 
welcher aus dieser Behandlungsweise erwächst, ist ein dop 
pelter. Erstens finden die im Fortschritt der Analysis ge 
wonnenen Formeln ihre Anwendung auf die anschaulichen 
Gebilde des Raumes und gewinnen dadurch an Begreiflich 
keit und an Reiz; auch kann für diese vier ersten Stufen 
der Ausdehnungslehre die ganze Terminologie der Raumlehre 
entlehnt werden. Sodann aber giebt jedes neue Gebiet, wel 
ches man betritt, zu einer Wiederholung und Erweiterung 
der im vorigen angestellten Betrachtungen Anlass, wodurch 
die Aneignung der neuen und ungewohnten Operationen un 
gemein erleichtert wird. — Um nun mit Hilfe der Ausdeh 
nungslehre die Raumlehre zu begründen, ist es keineswegs 
nöthig, das ganze Material der neuen Analysis anzuwenden. 
Schon die Hauptbegriffa und die Grundformeln reichen hierzu 
aus, während der volle Reichthum an Beziehungen, den die 
Ausdehnungslehre enthält, erst in höheren Gebieten zur Ent 
faltung kommt. Daher dient diese Schrift auch eben nur 
zur Einführung in jene Wissenschaft, und soll das Studium 
derselben erleichtern. Dieselbe würde, falls der vorliegende 
erste Theil den Beifall des mathematischen Publikums finden 
*) Man sehe namentlich: Hankel, Vorlesgn. üb. d. complexen 
Zahlen (Leipzig 1867) S. 16, 105, 140, und Clebscli, Zum Gedächtnis« 
an J. Pliicker (Göttingen 1872) S. 8, 28. — Ueber die Entstehung 
und Geschichte der Ausdehnungslehre (die ich an dieser Stelle nur im 
Allgemeinen, soviel zur Orientirung nöthig ist, verfolgen konnte) geben 
die beredteste Auskunft die Vorreden zu den beiden Ausgaben der 
„Ausdehnungslehre“. Ich bin überzeugt, dass, wer diese beiden Vor 
reden gelesen, dieselben nicht ohne lebhaftes Interesse für den Ver 
fasser und sein Werk aus der Hand legen wird.