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Wenn (BA) 
(DA) 
(B G) 
(DG)’ 
so ist auch: 
(.B - A) 
(D — A) 
, (B — G) 
(D-Cy 
oder, wenn wir diese Quotienten mit X bezeichnen: 
(B — A) = X (B — C); 
G" 
1 
II 
1 
oder: 
¿>(1 — X) — A—XC; 
D(\ -f X) = A -f XC, 
endlich: 
n A — XC ' 
1) = A +J; C . 
h 1 — X ’ 
1 -j- X 
Betrachten wir nun das 
Paar (A, C) als gegeben. 
(_£>, D) als gesucht, so entspricht jedem Werthe X ein Paar 
(/>, 1)); d. ln: Zu einem'gegebenen Punktepaare giebt es be- 
A -4- C 
licbig viele harmonische. — Nur, wenn X — 1, d. h. D = — 
ist, wird B unbestimmt, und rückt in unendliche Entfernung, 
weil dann (B — A) — (B — C) sein soll. 
Vertauscht man die Differenzen der Punkte mit den 
Quotienten der gleich bezeichneten Richtungen, so erhält 
man aus (b : a) — (b : cf ; (a : il) = (d : cf- den entsprechen 
den Satz: Zn einem gegebenen Linienpaare giebt es beliebig 
viele' harmonische. Und wenn X — 1 ist, verwandeln sich 
die Formeln 
b = 1 p{a : c x ) 5 d — 1 + } // {a . c x ) 
* U b= ]/(a:c) ; d = p'a.c, 
d. ln: d halbirt den Winkel (ac) und b ist unbestimmt. 
Wenn also die Gerade d den Winkel (ac) halbirt, so 
ist die vierte harmonische Linie unbestimmt. 
Soll das Paar (B, 1)) nicht nur mit (A, C), sondern 170. 
auch noch mit (E, F) harmonisch sein, so tritt zu der ersten 
Gleichung die zweite hinzu: 
(BE) _ (BE) _ 
(BF) — (DF) 1 • 
Beide Gleichungen geben zusammen folgende Wertlie 
für B und 1): 
y, A — X G F — u J' tj A -j- X G L -f- [i F 
= 1 — x = 1 — fi ’ = 1 -fl