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M 
w 
m 
VF 
Durch Elimination von B erhält man: 
A g (C — JE) -j- A (F — (7) -f- g (F — A) -{- (A. — E) = 0, 
und durch Aenderung der Zeichen von A und g: 
Ag (G — F) — X(E - C) — p(F—A) + (A — E) = 0. 
Durch Addition und Subtraction dieser Gleichungen er 
hält man: 
Ag (C — F) = (E — A)j A(E—C)= g (A — F), 
oder durch Multiplication: 
P (C — F) {F — C) = {E — A) (A - F); 
endlich: .. ,. A ^ 
12 = № ~ A ) (A — F ) 
(C — F) ' (E — G) 
und indem wir A mit E, F mit C vertauschen: 
,,2 {E-a) Ce-c) 
‘ (G-F) ' (A - F) ‘ 
Da nun A und g vollkommen bestimmt sind, so gicbt cs 
zu zwei gegebenen Punletcpaaren nur ein harmonisches. Drückt 
man A 2 noch als Product der beiden mit A gleichen Quo 
tienten aus, so findet sich, dass zwischen den drei Punkte 
paaren (B y D), (A, C)y (F, F) die Gleichung besteht: 
oder: 
(JB -A) (A — D) _ (E — A) 
(® - C) ' (D -G) ~ (G - F) 
(B - A) (J) - A) (E - A) 
lB — C) ’ (D -r G) "T (F—G) 
(A-F) 
\E-Cy 
(F - A) 
(E - C) 
= 0. 
Eine andere Beziehung erhält man aus dieser durch Ver 
tauschung von A und C mit resp. E und F. 
Vertauscht man die Differenzen mit den Sinus der Win 
kel, die von den entsprechend benannten Geraden gebildet 
werden, so erhält man ähnliche Formeln und Sätze für die 
harmonischen Linien. 
171. Soll das Paar (B, B) ausser mit (A, C) und (JE, F) 
noch mit (G, H) harmonisch sein, so tritt zu den beiden 
vorigen Gleichungen noch die dritte hinzu: 
(B G) __ (D G) _ 
(BH) (DH) — V • 
Alle drei Gleichungen geben folgende Werthe für B 
und I):