149 
Man kann also in einer Ebene einen beliebigen Verein 
von vier Grössen b mit einem beliebigen Vereine a dadurch 
verwandt machen, dass man die Grössen b, wenn es Punkte 
sind, mit passenden Zahlcoefßdenten versieht; wenn es aber * 
Strecken sind, in angemessener Weise dreht oder verlängert. ' 
Biese Veränderungen hängen alle von einer beliebig zu wäh 
lenden Grosse x 4 ab, und es sind die bei verschiedener Wald 
von x 4 entstandenen Vereine unter einander ebenfalls verwandt. 
Da nun 
«A = x 4 ß l b l + x 4 ß 2 b 2 + x 4 ß 3 b 3 
folgt, wenn man in dem Ausdruck für c 4 alle c durch x und 
b, und alle x durch x 4 ausdrückt, so sieht man, dass über 
haupt die Multiplication mit einem Factor x 4 genügt, um 
den Verein der Grössen b mit demjenigen von a verwandt 
zu machen; und da man diesen Factor gleich 1 nehmen kann, 
so folgt, dass man überhaupt in der Ebene jeden Verein von 
vier unabhängigen Grössen einem anderen Vereine von vier 
unabhängigen Grössen verwandt setzen kann. Man hat also 
nur zu setzen: 
Cj — b 4 5 Vl — ßl^l) a 2 C 2 “ /^2^2) a A C i = ß,K 
b) Besondere Beziehungen. 
a) Directe Verwandtschaften.*) 
Nehmen wir nun insbesondere an, ¿c 4 „sei so gewählt, dass 184. 
c 4 = aj 5 c 2 = a 2 5 c 3 = a 3 5 c 4 = a 4 
wird, und bezeichnen diesen Factor x 4 nun mit X. Dann 
ist X eine Grösse, welche einen Verein, dessen einzelne 
Grössen mit ihr multiplicirt werden, in einen verwandten 
Verein verwandelt. 
Wenn also (e x e 2 e.f) und (£i£ 2 £ 3 ) zwei Punktvereine sind, 
und 
y — cc [ c l -f- cc 2 e 2 -j- a 3 e 3 ; 
Q = CC 4 £j —f- CC 2 £., —{— a 3 £ 3 
ist, so kann man immer setzen: 
1 X = p; e i X = e15 e 2 X = e 2 ; e 3 X = s 3 . 
Die drei letzteren Gleichungen geben multiplicirt: 
*) Vgl. G. A. II. 390. Anm. 2.