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Fortgesetzte Drehung über 4 R hinaus führt die Gerade
immer wieder in solche Richtungen, die sie schon früher inne
■gehabt.
Die Fähigkeit der Zahl i, alle Richtungsveränderungen
einer Geraden durch ihren Exponenten auszudrücken, hängt
mit der Thatsache zusammen, dass der rechte Winkel ebenso
als Mass aller Winkel gebraucht wird, wie irgend eine als
Längeneinheit bezeichnete Strecke als Mass aller Strecken.
Nur ist der rechte Winkel ein absolutes, die Längeneinheit
ein relatives Mass.*)
Eine Gerade mit i n multipliciren "bedeutet also nichts
weiter als: dieselbe Gerade um n Rechte drehen. Dabei
kann n jede reelle Zahl vorstellen.
70. Wie eine Strecke durch ihre beiden Endpunkte, so ist
ein Winkel durch seine beiden Schenkel [a-, b) vollständig
bestimmt.
Durch Vertauschung von a und b erhält der Winkel die
entgegengesetzte Seite der Ebene (d. li. er bleibt ungeändert,
wenn man ihn von der entgegengesetzten Seite der Ebene
betrachtet).
Hiernach entspricht, mit dem schon gefundenen Resultat
übereinstimmend, die Ableitung eines Winkels aus zwei Ge-
*) In der höheren Analysis beweist man, dass
7t
i l = e 2 ,
wo E das dem rechten Winkel entsprechende Ausdehnungsgebilde,
gemessen durch eine Strecke, bedeutet. Hieraus erhält man:
Der letztere Factor e ai ist derjenige, dessen sich H. Grassmann
zur Bezeichnung einer Drehung bedient (vgl. Ausdehnungslehre I. Vor
rede S. XI ff.). Dagegen hat, wie man sieht, in der elementaren Dar
stellung i n den Vorzug der grösseren Einfachheit. — Die letzte Formel
zeigt übrigens noch den Zusammenhang zwischen dem Winkel a und
dem Winkel B. Wird nämlich die Grösse des rechten Winkels durch
die Zahl * bezeichnet, sodass « — n- ~ = nB, so ist eben i n = e a \