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Nunmehr lässt sich der Begriff der Mittelrichtung dahin 
erweitern, dass man sagt: Für v Richtungen a, b, c ... n 
ist diejenige Richtung m die Mittelrichtung, welche der Be 
dingung genügt: 
(m : ä) . (m : b) . (m : c) .... (m : n) = 1, 
oder: 
86. Winkel, die nicht an einander liegen (d. h. Scheitel und 
einen Schenkel gemeinsam haben), können wir vereinigen, 
indem wir sie erst durch Schiebung, resp. Drehung anein 
anderlegen und dann addiren. 
87. Sei das Product von v Winkeln gleich Eins; also: 
(6 :a)-(öf:c)-(/ r :e) ••• = !. 
Dann können wir alle diese Winkel durch die Abweichun 
gen ihrer Schenkel von einer einzigen beliebigen festen Rich 
tung v ausdrücken, indem wir setzen: 
(b : a) — (y : a) : (y : b) 
. (cl : c) = (y : c) : (v : d), 
sodass: 
(y : a) • (v : c) • (y : e) • • • = (y : b) (v : d) iy : f) • • •, 
d. h.: Wenn das Product von v Winkeln auf einer Ebene 
Eins ist, so ist für jede beliebige JRichtung der Ebene das Pro 
duct der Abweichungen von den Anfangsrichtungen gleich dem 
Producte der Abweichungen von den Endrichtungen. 
88. Ist b — d = /’=••• = m, so haben wir: 
(y : a) • (y : c) • (y : e) • • • = (v : w) r ; 
m v — a . c\ e . . . ^, 
oder: 
oder: 
m = ]/a . c . e . . ., 
d. h.: Wenn auf einer Ebene eine Schaar von v Geraden 
gegeben ist, so ist für jede Richtung der Ebene das Product 
der Abweichungen von diesen n Geraden gleich der Polens 
ihrer Abweichung von deren Mittelrichtung. 
> 
2. Bewegung eines auf der Geraden liegenden Punktes. — 
Die Kreislinie. 
89. Wenn eine Gerade um einen auf ihr liegenden Punkt 0 
sich dreht, so beschreibt jeder ihrer Punkte eine Kreislinie,