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dann ist
oder:
griff der Drehung. — Was die anderen sogenannten Congruenzsätze
betrifft, so erscheinen diejenigen, welche die Gleichheit zweier Winkel
voraussetzen, als specieller Fall in der Aehnlichkeitslehre. Die beiden
anderen erledigen sich wie folgt:
1) Sei
' (AL — B) iy = (AL, - B,); (B — C)i a = (B i - C t );
(C — A) i? — (Ci — AL,);
(A - B) V + (B — C) i a + (C - A) A = 0;
{B - C) i tt ~v (C — A) iP-v + (A - B) = 0.
Letztere Gleichung bezeichnet entweder ein dem gegebenen symme
trisches Dreieck, bestimmt dann aber auch gleichzeitig die Winkel
u, ß, y in bekannter Weise, oder giebt, mit
(B - C) + (C — A) + (A — B) = 0
verglichen, das Resultat: a = ß — y, woraus wieder die Gleichheit der
Winkel des Dreiecks (AL, B v Cj) mit denen von (AB C) folgt.
2) Sei
(A - B) B = (A, - Bi); (B - C) i“ = (2?, - (7,);
(B C) : (R, - C t ) = (A-C): (A 2 - Cj).
Dann ist:
23 — C A—C
(B-C]i a== A z -~Cr 0der: (A-C)i =(A 2 -Ci);
und da (B — C) i a =^= (23, — Cj), so ist auch (A — B)i a = (A 2 — B x );
d. h.: (A, — B x ) i a ~ Y — a 2 _ 7?,, und im Falle der Congruenz gleich
zeitig a = y und A, = A 2 .
Uebrigens ist bei dem hier befolgten Gange die Bedeutung der
Congruenzsätze ganz untergeordnet.
108. Enveiterungen. Aufgabe: Von einem gegebenen Punkte
aus soll man drei der Länge nach gegebene Strecken so
ziehen, dass ihre Endpunkte drei Ecken
eines Quadrates bilden.
Analysis. Sei A der gegebene Punkt,-
und AB C D die gesuchte Figur. Dann
soll sein:
(<G — D)i = (C — B),
oder:
(CA - DA) i = (CA — BA)-
CA .i - DA .i = CA- BA (= CB)]
d. h.: die vier Strecken CA . i, DA.i,
BA und CA, welche alle nach Lage und
^ Richtung bestimmt sind, bilden ein Viereck.
Construdion. Demnach ziehe man von A aus CA in
beliebiger Richtung, dann CA . i = CE\ dann muss der
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