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1. Einfache Grössen.
5i. Abgeleitet aus mehreren festen Punkten,
a) Grössen vom ersten Grade.
110. Der Mittelpunkt M zweier Punkte A und B in einer Ge
raden wurde bestimmt durch die Formel: M — —■ ^. Nen
nen wir analog denjenigen Punkt M den Mittelpunkt dreier
Punkte A, B, C in einer Ebene, welcher bestimmt ist durch
die Formel:
Jf _ A-\- B A c _ ^
Setzen wir A -J- B = 2Z, so folgt:
2Z C — 3Jf; oder: M=$ZA№
d. h.: M ist doppelt soweit von C entfernt, als vom Mittel
punkte von A und B. Dasselbe gilt für die anderen Eck
punkte, wenn wir die Buch
staben A, B, C und X, Y, Z
circular vertauschen. Also:
2X-{- M =
2Y + B = 3M-,
2ZAC = 3Jf;
2(X+ T+Z)
+ (A ABAC) = 971/;
2{X A Y -f- Z) = GM",
d. h.: die Halbirungspunkte X, Y, Z haben denselben Mittel
punkt wie die gegebenen Punkte.
in. Sei zur Verallgemeinerung der letzten Betrachtung ein
beliebiger Tunkt X 1 auf (B — C) durch
= ß\ B + Yi C (ßi + Yi — 1)
bestimmt; ein Punkt U auf (A — X,) durch
U = a { A A $\X x («, A d\ — 1)?