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A {A - X) = ßA {A — B) -f- y A (A — <7);
— Z) = ß (A — B) + y {A - C).
In analoger Gestalt lassen sich auch die beiden anderen For
meln schreiben. Sie lehren nun, wie der Punkt X durch
Construction gefunden werden kann.
112. Sei wiederum
X, — ß v B -f- y l G] (ßi -f- V\ = 1);
aber ausserdem:
+ 7; («,+$, = !).
U— — «j A -f- /3,7)' -f-
v—îA + % B +% c -
Dann ist :
Wenn also in der Gleichung:
X= uA + ßB + yC
eine der Zahlen negativ ist, so liegt der Punkt X jenseits
der Seite, welche dem negativen
Punkte gegenüberliegt.
Ist /3, = <5j, so ist auch
a i = 7\ 5 die Gleichung für U
lautet:
(U — B) = y (C — A);
A
und U liegt auf der durch B mit (C — A) gezogenen Parallele.
Ist y y — d,, so ist auch ccy = ßy- die Gleichung für U
lautet:
U=-&A+p i B + C; oder: (U - C) = || (B - A)]
und U liegt auf der durch C mit (B — A) gezogenen Parallele.
Ist ßy = y, = d i} so ist auch — d, (= •£), und U
ist der vierte Eckpunkt eines Parallelogramms.
Sind ccy, ßy, Yy < dy, so liegt JJ innerhalb dieses Paral
lelogramms, sonst ausserhalb.
In der allgemeinen Gleichung bestehen also für ersteren
Fall folgende Bedingungen: