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2) ec ß y sind alle Meiner als Eins, aber eine dieser Zah
len negativ.
Dreht man nun das Dreieck der Punkte (A B C) um den
Mittelpunkt von (A — B) ^
durch einen gestreckten Win
kel, so dass
x = (ß + Y) A,
+ ( K + y)B, - yC ti
d. h.: der Punkt X liegt im
Dreieck der Punkte (A B G)
und im Parallelogramm der
Punkte (AB CCf).
Sei
X { = ccA l -{- ßB y -f- yC,
C
X^ccB + ßA + yC.
so ist auch:
Also jedem Punkte im Dreieck (ABG) entspricht ein
anderer im Dreieck (A t B y Cf). Letzteres heisst das Ergän
zungsdreieck des ersteren; jede der beiden Breiecksflächen ist
halb so gross als die Fläche des Parallelogramms. Da auch
die Zahlen a und ß negativ sein können, so hat das Dreieck
drei Ergänzungsdreiecke.
Aus AX = ßAB -f- yAC folgt:
AX = ß(AC + GB) + yAC = (ß -f y)AC -f ßCB.
Andererseits ist:
BX x =ß. BA + y BC;
X,B=ß .AB — yBC = ß(AC + CB) — yBC]
folglich:
X, B == (ß -f- y) CB + ßAC.
Der Punkt X liegt also in einem Dreieck, wenn im Aus
drucke für AX die Coeflicienten der Glieder in bestimmter
Reihenfolge abnehmen; in einem Parallelogramm ohne diese
Bedingung. Im letzteren Falle kann man die Zahlen ß und