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(ß + y) beliebig an die Glieder AG und CB vertheilen. 
Hiermit ist die Bedingung festgestellt, unter der ein Punkt 
in einem Parallelogramm liegt.*) 
113. Sei wiederum 
^ = ß { B-\-y { C) (/5 1 -f- y, = 1); 
aber ausserdem: 
H = a, Z,-f dj CT; Oi + dj = l). 
Dann ist: 
dj U = A — «, ß y B — a i y l C\ 
U^^A — ^B — ^C. 
O | o| 
Wenn also in der Gleichung 
X = aA + ßB + yC 
3) zwei Zahlen negativ sind, so 
liegt der Punkt X jenseits der 
Ecke, welche der Strecke der 
negativen Punkte gegenüberliegt. 
Die weitere Ausführung dieses Falles, die sich ganz 
analog mit Nr. 112. gestaltet, übergehen wir ihrer geringeren 
Wichtigkeit wegen. 
114. Erweiterungen und Anwendungen. Ein Punkt X sei 
durch drei feste Punkte, ABC, so bestimmt, dass 
X = mA -f- nB -j- pC. (m -f- n + p — 1). 
Bezeichnen wir durch 
X { den Durchschnittspunkt von XA und BC. 
X 
B x 
XB „ CA. 
X, 
XC 
AB. 
Formeln: 
Dann liegen auf je einer Geraden die Punkte: 
X A X, ; XBX,- XCX, - 
B C X, ; C A X 2 ■ A B X,. 
Diese Beziehungen mögen dargestellt sein durch die 
*) Vgl. G. A. I. § uo. 111.