§ 63. Zweiter Beweis und Präzisierung des Enneperschen Satzes. 121 
§ 63. Zweiter Beweis und Präzisierung des Enneperschen Satzes. 
Vorausgesetzt, die Fläche S habe negative Krümmung K, so setzen wir 
wobei wir unter p den positiven Wert der Wurzel verstehen. Längs 
einer beliebigen Haupttangenteukurve haben wir: 
(a) 
B du 2 -f- 2B' du dv -f B" dv 2 = 0 
oder: 
(D du + B' dvf = (D' 2 - BB") dv 2 = 
(ZT du + B" dvY = (D' 2 - BB") du 2 = 
Durch Ausziehen der Quadratwurzeln und unter Berücksichtigung von (a) 
erhalten wir; 
| B du B' dv = + dv, 
Bezeichnen wir mit s den Bogen der Haupttangentenkurve, so können 
wir folglich sagen; 
Längs einer Haupttangenten kurve auf S bestehen die 
Differentialgleichungen: 
(b) 
wo entweder die oberen oder die unteren Vorzeichen gleich 
zeitig genommen werden müssen, je nachdem die Kurve zu 
der einen oder zu der anderen Schar gehört. 
Nun haben wir unter Beibehaltung aller Bezeichnungen in Kap. I 
für die Kurve offenbar: 
(c) cos X = sX, cos /t = s Y, cos v = eZ(e = + 1), 
da ja die Binormale der Kurve mit der Flächennorraale zusammenfällt. 
Wir berechnen dann die Torsion nach der Gleichung (A), S. 10: 
cos ß cos y 
d cos ft d cos v 
ds ds 
\ cos A cos ft 
COS V