Ibene.
Ebene.
Ebene.
rein Loth gefällt wer-
iner geraden Linie in
te mehrere winkelrechte
so liegen diese alle in
es seien auf der geraden
e Lothe CD, CB, CH
in legt durch CD und
;t AC ein Loth auf die-
eiden Z.ACD und ACB
itzt nun CH läge nicht
id man legt durch ACH
erstere E. in CJ schnei-
» 2, Z.ACJ ein rechter;
/ein rechter z ist, so
'H zusammenfallen,
ein Punkt A auf eine
ichte ist die kürzeste
zwischen dem Punkt
le andere Verbindungs
und um so gröfser je
unkt derselben von dem
oths entfernt ist. AC
inie, AD ist > AC; ist
ich AD< AB und sind
ider gleich so sind auch
oder gleich. Die loth-
¡r Absta nd des Punkts
rade Linie AC auf einer
man fällt von irgend
ler L. auf irgend eine
gerade Linie BD eine
verbindet diesen Punkt
punkt C des Loths AC
Linie CG, so ist auch
nah
n GD = GB, legt durch
ACD, ACB und ACG
G = BG
D — ZAGB = R
G - AG
Ds&/±AGB
D = AB
C = AC
D = ACB = R
I) Sä A A CB
D = CB
G — CG
G = BG
Gm&CBG
0 = z CGB = R
wiesen, dafs wenn die
beliebige in der E. be-
iinie BD normal ist,
em Punkt A des Loths
ene gerade Linie AG
i, die auf einerE. senk-
mit einander parallel.
Denn sind AC und KG lothrecht auf
der E. und man verbindet beider Stand
punkte C und G durch CG, zieht in der
E. auf CG die Normale BD und die Linie
AG so ist auch AG auf BD normal; da
nun auch GK auf BD normal ist, so lie
gen die 3 geraden Linien GC, GA und
GK in einerlei Ebene, und da in
derselben Z ACG — R — CGK so
ist AC+KG.
Eben so wird bewiesen, dafs wenn
von 2 parallelen L. die eine loth
recht auf einer E. ist auch die an
dere auf derselben E. lothrecht steht.
9. Hieraus folgt, dafs zwei gerade
Linien im Raum mit einander 4= sind
wenn jede von beiden mit einer
dritten ist.
Ferner, dafs zwei Winkel im
Raum einander gleich sind, wenn
ihre Schenkel je 2 und 2 nach der
selben Seite der Verbindungslinie
ihrer Scheitelpunkte mit einander
parallel laufen.
10. Werden aus beliebigen Punk
ten einer auf einer E. schräg stehen
den geraden L. auf die E. Lothe
gefällt, so liegen deren Stand
punkte mit dem Standpunkt der
schrägen in derselben geraden
Linie; denn fällt man die Lothe AC, LM
der schrägen AB auf die E., so befinden
sich AC und LM in einerlei E., und zwar,
da sie mit der Linie AB zwei Punkte A
und L gemein haben in derselben E., in
welcher AB liegt; legt man daher durch
die Linien AC, LM und AB die ihnen
gemeinschaftliche E., so schneidet diese
die erste Ebene in einer geraden Linie
und in dieser liegen also auch die Stand
punkte jener Linien.
Die gerade Linie, in welcher die Stand
punkte sämmtlicher Lothe einer schräg
auf einer E. befindlichen geraden L. lie
gen, heifst die Projection der schrägen
L. auf der E.
11. Der Winkel, den eine schräge L.
mit ihrer Projection auf einer Ebene
macht, ist der kleinste von allen anderen
Winkeln, welche die schräge L. mit an
deren geraden aus ihrem Standpunkt auf
der E. gezogenen Linien bilden kann.
Denn ist CG die Projection der schrä
gen AG, AC das Loth auf der E., und
man zieht eine beliebige andere gerade
GB, macht diese = GC und zieht AB, so
ist AB > AC.
Nun ist in den beiden Dreiecken AGC
und AGB AG-AG
GC = GB
und AC < AB
folglich zAGC<Z-AGB
12. Bilden die geraden Linien GD und
GB mit der Projection GC der schrägen
AG gleiche Winkel, so sind auch die
ZAGD und AGB, welche die Schräge
AG mit GD und GB bildet einander gleich
Denn macht man GD = GB, so ist in
den Dreiecken CDG und CBG
Fiff. 585.
CG = CG
GD = GB
ZDGC = ZBGC
daher
also
hierzu
A DGC ssi A BGC
CD = CB
AC = AC
zacd = zacb = r
AACDssAACB
also
A D - AB
hierzu
DG-BG
AG = AG
folglich AAGD £§ ¿s AGB
woraus ZAGD = ZAGB
13. Sind die Winkel, welche die Pro
jection GC von GA mit den Linien GD
und GB bilden ungleich, so sind auch
die Winkel zwischen diesen Linien und
der schrägen AG ungleich und zwar ge
hören die beiden gröfseren und die bei
den kleineren Winkel zusammen.
Denn wenn man wie No. 12 beweist,
so erhält man
für ZDGC> ZBGC
in den Dreiecken DGC und BGC
CD>BC
also in den bei C rechtwinkligen Drei
ecken ACD und ACB
AD > AB
folglich in den Dreiecken AGD und AGB
ZAGD> ZÄGB
14. Der Winkel AGC den eine Schräge
1*
L.
