Figurirte Zahlen. 
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Figurirte Zahlen. 
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Für die Bildung der vollständigen Zah 
lenreihe stellt man sich vor, dafs die bei 
den Seiten AB und AC nach A hin im 
mer mehr abnehmen, so dafs beide Punte 
B, C endlich in dem einen Punkt 4 ver 
schwinden , und somit ist die erste drei 
eckige Zahl und überhaupt jede erste 
«eckige Zahl = 1. 
Die Reihe der dreieckigen Zahlen ist 
demnach 
1 • 3 • 6 • 10 • 15 • 21 
Man sieht, wie auch aus der Bildungs 
weise der auf einander folgenden Zahlen 
hervorgeht, dafs diese Reihe eine arith 
metische Reihe der zweiten Ordnung ist 
(s. Arithmetische Reihe, pag. 122, 
mit der Bezeichnung). Deren Differen- 
zenreihen sind 
2 • 3 • 4 • 5 
1 1 1 
Es ist also hier B — 1, .4 = 2, d — 1 
daher nach der Formel 
B + -^-.A + 
(1) 
das «te Glied der Reihe = ” 
1 • 2 
Nach der Formel (pag. 128, rechts) 
S = -«+^l 
1 1 
(n — 1) ra • (n — 1) (n — 2) 
~—2— a ‘ '—f ri—.—3— 
(2) 
wo n — B — 1; «,=4=2; n 1 — d= 1 
ist die Summe der ersten n Glieder der 
dreieckigen Zahlen 
n • (« + 1) (n + 2) 
“ 1 • 2 • 3 
2. Es sei ABCD ein regelmäfsiges Vier 
eck (Quadrat) von den Seiten AB—AI) 
— BC=CD = 1; die Ecken desselben lie 
fern 4 Punkte als Grundzahl 4 der vier 
eckigen Zahlen; das durch Verlängerung 
der Seiten AB und AD um BE = DG = 1 
entstehende zweite Quadrat AEFG lie 
fert zur 2ten Zahl noch die 5 Punkte in 
Fig. 636. 
EF, FG und die 2te viereckige Zahl ist 
4 + 5 = 9. Die dritte Zahl erhält in IIJ, 
JK noch 7 Punkte und es ist die 3te 
viereckige Zahl = 9 + 7 = 16 u. s. w. 
Die erste Zahl ist wie bei den dreiecki 
Fig. 637. 
zur folgenden Zahl liefern die Seiten 
FG, GH, HJ noch 7 Punkte, zur näch 
sten die Seiten KL, LM, MN wieder 10 
Punkte; die folgenden vierten nicht ge 
zeichneten 3 Seiten liefern 4 Eckpunkte 
+ 3x3 Seitenpunkte = 13 Punkte, die 
fünften 3 Seiten liefern 4 Eckpunkte 
+ 3x4 Seitenpunkte = 16 Punkte u. s. w. 
Die «ten 3 Seiten liefern 4 Eckpunkte 
+ 3x(m— 1) Seitenpunkte =3« + 1 Punkte ; 
die Reihe der fünfeckigen Zahlen ist also 
1 • 5 • 12 • 22 • 35 •51 ... 
Das «te Glied ist nach Formel 1, wo 
/7=1, 4 = 4, </ = 3 ist = ” ‘ i (3w -- 1 ? 
Die Summe der ersten « Glieder 
S = \n 2 (n + 1) 
4. Auf dieselbe Weise findet man die 
gen Zahlen = 1 also wird die «te Zahl 
= » 2 . Die Summe der ersten «Zahlen 
wird nach Formel 2, wo 
«=/7=1; «,=4 = 3; a^—d = 2 ist 
«(«+ 1) (2n+ 1) 
1.2 - 3 
6, 7, 8, 9 ....«eckigen Zahlen. Bd. I., 
pag. 252 sind die 10 eckigen oder Deca 
gonalzahlen aus Fig. 556 abgeleitet. 
Die allen Polygonalzahlen gemein 
schaftliche Reihe ist 
l-2 + </.3 + 3rf.4 + G</-5 + 10</ 
3. Es sei ABC DE ein regelmäfsiges 
Fünfeck, die 5 Eckpunkte liefern die 
Grundzahl 5 für die fünfeckigen Zahlen; 
Das allgemeine wte Glied ist 
« + 4« (« - 1) d = n |\+ rfj