Figurirte Zahlen. 
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Figurirte Zahlen. 
Jede der drei sichtbaren Dreiecksebenen 
hat nun 4 Reihen Punkte, z. B. die Ebene 
ahi; die Reihe a mit 1 Punkt, die Reihe 
bc mit 2 Punkten, die Reihe ef mit 3 
Punkten und die Reihe hi mit 4 Punk 
ten. Die untere, nur in den 3 Kanten 
hi, hh, ih sichtbare Ebene hat in der 
obersten Reihe h einen Punkt, die zweite 
Reihe ßß mit 2 Punkten, die dritte Reihe 
ß’ß' nur mit 2 Punkten, die Reihe ih 
wieder mit 4 Punkten; es fehlt also in 
der Mitte zwischen ß’ß’ ein Punkt, und 
dieser eingesetzt entsteht die 4te Tetrae- 
dralzahl 10 + 3 + 3 X 2 + 1 = 20. 
Verlängert man wiederum, zieht die 
mit hi, ik, hh parallelen Kanten, so kom 
men hinzu 3 Eckpunkte, in jeder der 
neuen Kante 3 Punkte also 3x3 Kan 
tenpunkte. In der neugebildeten unte 
ren Ebene aber fehlen aufser dem zu ß’ß' 
gehörenden einen mittleren Punkt die in 
der mit ih correspondirenden Reihe die 
beiden mit ß, ß correspondirenden Mit 
telpunkte. Es sind also zu der 5ten Te- 
traedralzahl an Punkten hinzugekommen; 
3 Eckpunkte, 3x3 = 9 Kantenpunkte und 
3 Flächen punkte und diese 5te Zahl ist 
20 J- 3 4“ 9 3 = 35. 
Zur 6ten Tetraedralzahl kommen hinzu 
3 Eckpunkte 4-3x4= 12 Kantenpunkte 
4- (1 4- 2 4- 3) = 6 Flächenpunkte und die 
Zahl ist 35 4- 3 4- 12 4- 6 = 56. 
Zur Bildung der Tetraedralzahlenreihe 
kommen zu jeder urynittelbar vorherge 
henden Zahl 
zur lten die Zahl 1 
„ 2ten „ 
„ 3 
„ 3ten „ 
„ 2x3=6 
„ 4ten „ 
„ 3x34-1 = 10 
„ öten „ 
„ 4X3+ (1 + 2) =15 
„ 6ten „ 
„ 5 X 3 + (1 + 2 + 3) = 21 
» wten w 
„ («—1) 3+ l(n — 2)(n — 3) 
= 4-n (» + 1) 
Diese Zahlen 
zenreihe: 
bilden die erste Differen- 
1-3-6-10-15-21 in (»4-1) 
die zweite Differenzenreihe ist: 
2 • 3 • 4 • 5 • 6 .... 
die letzte; 1 • I • 1 • 1.... 
Die Tetraedralzahlen bilden also eine 
arithmetische Reihe der 3ten Ordnung, 
und diese ist 
1.4 • 10 • 20 • 35 i»(» + 1) (»4- 2) 
Die Summe der ersten n Glieder ist 
nach der Formel Bd. I., pag. 128. 
_ n n • (» — 1) n • (n — 1) (n — 2) 
i = T“ + -rT-*' + VTTT-r'*- + 
(n — 1) (» — 2) (» — 3) 
wo a — 1; a, = 3; = 3 ; « s = 1 ist; mithin 
« • (» 4-1) (n 4- 2) (n 4- 3) 
‘ "' 1 • 2 * 3 • 4 
2. Die 0 ctaedralzahlen. Das Oc- 
taeder wird begrenzt durch 8 Dreiecks 
flächen, 12 Kanten und 6 Ecken, deren 
jede von 4 Dreiecksflächen gebildet wird. 
Fig. 639 sei das (halbe) Octaeder mit 
der einen Ecke a in der Mitte, Fig. 640 
die Seitenansicht desselben, mit welcher 
eine Fläche der unteren Hälfte sichtbar 
wird. Das Octaeder abcdea’ habe die 
Kanten = 1, so liefern die 6 Ecken die 
zweite Octaedralzahl 6. 
Mit der Verlängerung der Kanten bis 
f, g, h, i um die Länge = 1 entsteht das 
Fig. 640.