Figurirte Zahlen. 
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Figurirte Zahlen. 
neue Octaeder aa”, es kommen also an 
Punkten hinzu 5 Eckpunkte f, g, h, i, 
die 4 Kantenpunkte « in dem Quadrat 
fghi, welches der unteren Pyramide gia" 
gemeinschaftlich ist; ferner die in den 
Kanten ga", fa”, ha”, in" noch erforder 
lichen 4 Kantenpunkte b', p, d’, e', zu 
sammen 2 x 4 = 8 Kantenpunkte und die 
3te Octaedralzahl ist 
6+5+2x4= 19 
Bei abermaliger Yerlängerung der Kan 
ten nach k, l, m, n entsteht das dritte 
Octaeder aaEs kommen hinzu die 5 
Eckpunkte k, l, m, n, a"'-, die 8 in dem 
den beiden Pyramiden gemeinschaftlichen 
Quadrat befindlichen Kantenpunkte ß und 
die in den 4 unteren Kanten noch feh 
lenden mit b und g etc. correspondiren- 
den 8 Kantenpunkte b", g"; c , f”; d", 
i”; e”, h". Endlich 4 Flächenpunkte «' 
in den unteren 4 Dreiecksflächen in den 
Mitten zwischen g", f"; f”, i"; i”, h" und 
h”, <7’> welche den oberen 4 Punkten « 
entsprechen und mit der Projection von 
a” (Fig. 640) zusammenfallen. Mithin 
kommen hinzu: 5 Eckpunkte + 4x4 Kan 
tenpunkte + 4 Flächenpunkte, und die 
4te Octaedralzahl ist 
19 + 5 + 4x4 + 4 = 44 
Bei nochmaliger Yerlängerung kom 
men hinzu 5 Eckpunkte, 4x3 Kanten 
punkte (}•) in dem neuen gemeinschaft 
lichen Quadrat, und die in den unteren 
4 neuen Kanten noch fehlenden, mit b, 
g, l correspondirenden 4x3= 12 zusam 
men 6 X 4 Kantenpunkte; endlich in den 
4 neuen unteren Dreiecksflächen 4 Punkte 
*<" und 2x4=8 Punkte ß”, zusammen 
3x4 = 12 Flächenpunkte, überhaupt also 
5 + 6x4 + 3x4 = 41 Punkte; 
daher die 5te Octaedralzahl =44 + 41 = 85. 
Zur Bildung der Octaedralzahlenreihe 
kommen zu 
henden Zahl 
jeder unmittelbar vorherge- 
zur lten 
die Zahl 
1 
„ 2ten 
» 
fi 
5 
„ 3ten 
V) 
» 
5 + 2x4 = 13 
„ 4ten 
» 
n 
5 + 5 X 4 = 25 
„ 5ten 
n 
» 
5 + 9x4 = 41 
„ 6ten 
n 
» 
5 + 14x4 = 61 
„ nten 
» 
y) 
(rt _ 2 ) (« + 1) J 
° + -1 • 2 
= 2n (« — 1) + 1 
Diese Zahlen bilden den Octaedralzah- 
len die erste Diflerenzenreihe 
1 • 5 • 13 • 25 • 41 • 61 .... 2n (« — 1)+ 1 
Die zweite Differenzenreihe ist 
4 • 8 • 12 • 16 • 20.... 
die letzte: 
4 • 4 • 4 • 4 
Die Octaedralzahlen bilden also eine 
Reihe der 3ten Ordnung und diese ist 
1 • 6 • 19 • 44 • 85 • 146 hn (2n 2 + 1) 
Die Summe der ersten n Glieder nach 
der Bd. I., pag. 128 aufgeführten F'ormel 
für x' = S 
wo a — 1; a t = 5; «, = 8; a % = 4, ist 
mithin 
S = ¿re (re + 1) (re 2 + » + 1) 
3. Die Icosaedralzahlen. Das Ico- 
saeder wird begrenzt durch 20 Dreiecks 
flächen, 30 Kanten und 12 Ecken, deren 
jede von 5 Dreiecksflächeh gebildet wird. 
Die Grundzahl der Icosaedralzahlen ist 
die Anzahl der Ecken = 12. 
Es sei A eine der 12 Ecken mit den 
5 regelmälsigen Dreiecken Aaa, deren 
Seiten oder Kanten Aa und aa = 1 sind. 
Bei der Verlängerung der Kanten Aa bis 
b, so dafs Ab = bb = 2 wird, entsteht ein 
neues Icosaeder, in welchem nur die eine 
Fig. 641. 
Ecke A mit dem ersten gemeinschaftlich 
ist, folglich kommen hinzu 12-1=11 
neue Eckpunkte. Von den 30 neuen 
Kanten haben nur die 5 Kanten Ab einen 
mittleren Punkt a, die übrigen 30 — 5 = 25 
Kanten erhalten also noch 25 mittlere 
Punkte wie c in bb, mithin kommen für 
die 3te Icosaedralzahl hinzu 11 + 25 = 36 
Punkte und die Zahl ist 12 + 36 = 48. 
Bei einer wiederholten Verlängerung 
der Kanten um bd entsteht ein 3tes Ico 
saeder, dessen einzige gemeinschaftliche 
Ecke mit dem vorigen ist A, mithin kom 
men hinzu 11 neue Eckpunkte. Von den 
neuen Kanten haben nur die 5 verlän 
gerten Kanten Ad 2 mittlere Punkte a, 
b, folglich kommen hinzu 25 X 2 = 50 
Kantenpunkte e. Endlich haben nur die 
5 Dreiecksflächen den einen mittleren