Figurirte Zahlen. 103 Figurirte Zahlen. 
Flächenpunkt c, mithin kommen hinzu Kanten Ad entsteht ein 4tes Icosaeder; 
noch 20 - 5= 15 Dreiecksflächen jede mit für dieses kommen hinzu 11 Eckpunkte, 
einem Mittelpunkt, sind 15 Flächenpunkte. 25 X 3 = 75 Kantenpunkte und 15 x 3 = 45 
In Summa kommen hinzu 11 + 50+15 Flächenpunkte, in Summa 11 + 75 + 45 
= 76 Punkte und die 4te Icosaedralzahl = 131 und die 5te Icosaedralzahl ist 
ist 48 + 76 = 124. 124 + 131 = 255 u. s. w. 
Bei abermaliger Verlängerung der 5 Die Reihe der Jicosaedralzahlen ist 
1 . 12 • 48 • 124 • 255 
11 • 36 • 76 • 131 (lte Differenzenreihe) 
25 • 40 • 55 (2te Differenzenreihe) 
15 • 15 • 15 (3te Differenzenreihe) 
Das «te Glied der Icosaedralzahlen ist nach der Formel Bd. L, pag. 122: 
„ n - 1 „ (n - 1) (« - 2) . , (» - 1) (» - 2) (n - 3) 
' 1 ' 1-2 
wo C = 1, B = 11, A = 25 und d = 15 ist; 
also ntes Glied = 1« (ö/t 2 — 5n + 2) 
Die Summe der ersten n Glieder nach 
der Bd. I , pag. 128 aufgestelten Formel 
wo a — 1, a, =11, t/j=25; « g = 15, ist 
mithin S = Vjn (15»t 3 + 10n* — 3h + 2) 
4. Die II exaedralzahlen. Das Hexa 
eder oder der Cubus hat zur Begrenzung 
6 Vierecksflächen, 12 Kanten und 8 Ecken, 
deren jede -von 3 Vierecksflächen gebil 
det wird. Es sei ABCD, Fig. 636, eine 
der Vierecksflächen, deren Seiten = 1 
sind; die im Abstande = 1 darunter be 
findliche Fläche sei A'B'C'D' dann sind 
die 4 Seitenflächen mit welchen diese 
beiden Grundflächen verbunden werden 
AA’, BB'. BB'CC', CC'DI)' und AA' DD'. 
Die 8 Ecken A, B, C, D, A', B’, C', D' 
bilden die Grundzahl 8 der Ilexaedral- 
zahlen. 
Verlängert man die 3 Kanten AB, AD, 
AA' um 1 bis AE, AG, AA" und man 
vollendet das dazugehörige Hexaeder 
AEFGA'E'F'G", so ist mit diesem die 
einzige Ecke + des ersten Hexaeders ge 
meinschaftlich. Zu der 3ten Hexaeder 
zahl kommen also hinzu 7 Eckpunkte. 
Von den 12 Kanten haben nur die 3 Kan 
ten AE, AG und AA" schon die Mittel 
punkte B, D, A', folglich erhalten von 
den übrigen 9 Kanten jede einen Punkt 
« und es kommen hinzu 9 Kantenpunkte. 
Ferner haben nur 3 Flächen einen Mit 
telpunkt wie C, nämlich die Fläche AEFG 
den Punkt C, AEA"E" den Punkt B' 
und die Fläche AGA"G" den Punkt D'• 
folglich erhalten von den übrigen 3 Flä- 
S = -J- (9h 3 + 6n 2 - 5n - 2) = 
8 
6. Die Polyedralzahlen sind Zahlen 
Form: 
T l • 2 • 3 
chen noch jede einen Mittelpunkt und es 
kommen hinzu 3 Flächenpunkte, die 3te 
Hexaedralzahl ist demnach 
8 + 7 + 9 + 3 = 27 
Verlängert man wdeder bis AH, AK, 
AA"', so kommen zur 4ten Hexaedralzahl 
hinzu 7 Eckpunkte; 9 Kanten jede mit 
2 Punkten wie ß, ß, also 9x2 = 18 Kan 
tenpunkte und 3 Flächen jede mit 4 Flä 
chenpunkten wie c, ce, F, re =3x4=12 
Flächenpunkte, die 4te Hexaedralzahl 
ist also 27 + 7 + 18 + 12 = 64 
Die Zahlen, welche den vorangegange 
nen Hexaedralzahlen zugezählt werden, 
um die nächstfolgenden zu geben sind 
1) 7 
2) 7 + 9 • 1 + 3 
3) 7 + 9.2 + 4-3 
4) 7 + 9 • 3 + 9 • 3 
n) 7 + 9 (h — 1) + 3 (n — l) 2 
Die llexaedral- oder Cubikzahlenreihe ist 
1 • 8 • 27.64 • 125 n 3 
und die Summe der ersten n Glieder nach 
der Formel Bd. I., pag. 128 wo a = 1, 
a t = 7; «, = 12; = 6 ist 
S = |h 2 (»i + l) 2 
5. Die Dodekaedralzahlen sind 
Bd. II., pag. 319 mit Fig. 565 abgehan 
delt. Die Reihe derselben ist 
1 • 20 • 84 • 210 • 455.... U (9/t 3 - 9/t + 2) 
die Summe derselben findet man nach 
der schon vorher gedachten Formel wo 
a = 1; «, = 19; a 2 = 45 ; a 3 = 27 ist 
kn (n + l>(3n + 1) (3/t — 2) 
der Reihe 3ter Ordnung von folgender