Fouriers Lehre. 
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Fouriers Lehre. 
Für x = 10 sind nur Zeichenfolgen, für 
x = — 1 nur Wechsel, daher existirt über 
-f 10 und unter — 1 keine Wurzel. Eine 
Wurzel liegt zwischen 5 und 10, 2 Wur 
zeln (oder keine) zwischen 0 und — 1. 
Für x = — 0,5 erhält man 
+ ~ - + 
2,375 0,25 11 6 
Es sind also 2 Wurzeln vorhanden, die 
eine zwischen 0 und — 0,5 die zweite 
zwischen —0,5 und —1. 
15. Die Gleichung 
X = x b x — 1 = 0 
= 5a: 4 +1 
X, = 20a: 3 
X , = 60a: 2 
X t = 120a: 
X, = 120 
für x = 
X 
X i 
Xj 
Xi 
** 
*5 
+ 00 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 1 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
0 
— 
+ 
0 
0 
0 
+ 
- 1 
— 
+ 
— 
+ 
— 
+ 
Für x = + 1 bestehen sämmtliche Fol 
gen, bei x — — 1 sämmtliche Wechsel, 
mithin liegen alle 5 Wurzeln der Glei 
chung zwischen + 1 und — 1. 
Setzt man einen beliebig kleinen po 
sitiven Bruch «für x, so erhält man die 
Zeichenreihe 
—b + + + -b 
und setzt man einen beliebig kleinen ne 
gativen Bruch — a für x, so entsteht 
—I 1 b 
Innerhalb der beliebig kleinen Differenz 
zwischen + « und — « gehen also 4 Zei 
chenwechsel, mit diesen 4 Wurzeln ver 
loren und es existirt mithin nur die eine 
reelle Wurzel zwischen 0 und + 1, die 
übrigen 4 sind unmögliche Gröfsen. 
16. Es liegt oft sehr daran, eine irra 
tionale Wurzel genau in möglichst vielen 
Decimalstellen zu erhalten, und man hat 
für die möglichst schnelle Berechnung 
derselben auch mancherlei Hülfsmittel. 
Bevor ich auf die Fourier’sche Methode 
komme, soll auf anderen Wegen die Wur 
zel zwischen 0 und 1 in Gleichung 15 
berechnet werden. 
Um dieser Wurzel sich durch Probiren 
schneller zu näheren, schreibe die Glei 
chung 
x (a: 4 + 1) = 1 
Man erhält den links stehenden Aus 
druck X 
Für x = 0,5 X = 0,53125 
x = 0,6 X = 0,67776 
x = 0,7 X = 0,86807 
x = 0,8 X= 1,12768 
Die Wurzel liegt also zwischen 0,7 
und 0,8. 
Wendet man die Regula falsi an, so 
hat man 
08 - 07 : a: - 0,7 
= 1,12768 - 0,86807 :1 -0,86807 
woraus x (a; 4 +1) = 0,92778 
die Regel wiederholt gibt 
0,8 - 0,75 : x - 0,75 
= 1,12768 - 0,92778 : 1 - 0,92778 
woraus x = 0,768 
und a:(a: 4 + 1) = 1,03518 
wiederum 
0,768 - 0,75 : x - 0,75 = 0,10740 :0,07222 
woraus x = 0,7621 und x (a: 4 +1)= 1,01917 
Versucht man nun nahe Werthe, so 
erhält man 
für x — 0,76; X = 1,0135 
a: = 0,755; X= 1,00042 
x = 0,752; X = 0,99248 
x = 0,753; Al = 0,99508 
x = 0,754; Al = 0,99770 
x = 0,8545; X = 0,99900 
a: = 0,75495; X = 1,000194 
x = 0,7549; X = 1,000058 
x- 0,75481; X = 0,999822 
u. s. w. Es sind bis jetzt erst die 4 ersten 
Decimalen richtig gefunden. 
17. Um nach Fouriers Methode eine 
zwischen 2 Intervallen liegende Wurzel 
zu finden mufs diese allein und von 
allen übrigen Wurzeln gesondert 
in dem Intervall sich befinden. 
In dem Beispiel No. 12 hat man 
für x = 
X 
*1 
X, x 3 
*4 
0 
+ 
+ 
- + 
- 
+ 
10 
— 
— 
- + 
+ 
+ 
Der erste Werth von x liefert 4, der 
zweite nur einen Zeichenweise!, in dem 
Intervall 0+10 befinden sich also 3 Wur 
zeln und es mufs dasselbe durch Zwi- 
schenwerthe von x so eingeschränkt wer 
den, dafs der Unterschied beider Reihen 
nur in einem Zeichenwechsel bestehe. 
In demselben Beispiel hat man 
für x = 
X 
*3 
** 
*3 
10 
— 
— 
— 
+ 
+ 
+ 
100 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+