f {b - t<ß) 
Fiir den Fall I. ist X t = fx positiv; 
da mithin die Werthe von X von x — a 
bis x — b fortdauernd wachsen, so ist 
f'b>f'{b- H ß) 
>/''(« + /“«) 
Diese Vergleichung mit 4 und 5 ver 
bunden gibt 
-fa 
f'b 
und dieses Intervall ist mithin fiir 
Anwendung der Methode geeignet. 
18. Es ist also erforderlich, dafs die 
Zeichen der X entgegengesetzt sind und 
dafs die der Differenziale einzeln mit ein 
ander übereinstimmen. Ferner ist zur 
Auffindung der Wurzel nur das erste Dif 
ferenzial zu beachten. Bezeichnet man 
im Intervall den höheren Werth von x 
mit b, den niederen mit a, so sind in 
Beziehung auf die Zeichen für das Inter 
vall b — a folgende 4 Fälle möglich 
Berechnet man also 
r* 
fb 
addirt dies zu 
«, so erhält man einen Werth von x, der 
kleiner ist als die Wurzel a + a, und be- 
zieht diesen von b ab, 
rechnet man 
X — 
X 
a 
— 
+ 
b 
4" 
+ 
x — 
X 
a 
— 
— 
b 
+ 
- 
* x t 
+ + 
~ + 
Die Werthe von X; X t sind für x = b 
und x = a bekannt; die Wurzel liegt zwi 
schen a und b und man bestimmt die 
Gröfsen « und ß so, dafs a -j- « = b - ß 
die Wurzel gibt. Es ist dann 
x= /■(« + «) = f(b- ß) = 0 (1) 
Nun ist nach der Taylor’schen Reihe 
f (<* + «) = fa + « f'a-\-~ f”a + .... 
f(b-ß) = fb-ßf’b + ?if»b-.... 
Für ein kleines Intervall b — a sind « 
und ß ebenfalls nur klein und dann sind 
ttf’a und ßf'b mit den Zeichen vorherr 
schend; bezeichnet demnach ( u einen po 
sitiven ächten Bruch, so kann man setzen 
^(a-f «) = /■«+ «/■'(« 4-^«5 = 0 (2) 
f(b-ß) = fb-ßf'(b-(,ß)zz 0 (3) 
wo f.i in beiden Formeln verschiedene 
Werthe hat. 
Es ist hieraus 
— fa 
(4) 
so erhält man einen Werth von x, der 
gröfser ist als die Wurzel 6 — /?; mithin 
erhält man die beiden neuen Werthe 
a -f- -J.- und b — r . T welche einander 
f'b f’b 
näher liegen als a und b und welche als 
Grenzen die Wurzel einschlielsen. 
Für den Fall II. hat man dieselben Ver 
gleichungen wie I. Nur ist zu beachten, 
dafs « und ß positive Gröfsen sind und 
dafs man also für fa, fb und f'b deren 
absolute Werthe einsetzen mufs 
also 
_ /■« 
tt> Tb 
3> f± 
' f’b 
und a + 'pfr und b f b 
Wurzel einschliefsende Grenzen 
Z. B. 
geben nähere, die 
X = - 
x 3 + x 2 
X t =- 
3a; 2 + 2x 
für X 
X X’ 
a = — 2 
+ 12 -16 
b = + 2 
- 4 - 8 
Man hat nun zu neuen Grenzen 
k 
, fa 12 
a+ ß = - 2 + J = 
f± 
f’b 
+ 2- —= + l* 
Nun ist eine Wurzel = + 1 mithin 
« = x — a = 1 — (— 2) = + 3 und ß = b — x 
= 2 - 1 = + 1. 
Es ist also 
fa fb 
fb -1 4<«; -ß-lcß