Fünfeck 
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Fünfeck, 
Nun ist sin ea = — sin ae 
hieraus sin ae — — (b sin La + c sin ca d sin da) (13) 
e 
Aus No. 6, Formel 5 hat man 
b sin B — c sin (ß -J- C) -f- d sin (ß -J- C -f- D) — e sin (ß -j- C 4- D -j- E) — 0 
Nun ist sin (ß -f C + D -f E) = sin A 
folglich sin A — — [6 sin ß — c sin (ß -f C) + d sin (ß -J- C -f D)] (14) 
Aus No. 7, Formel 6 hat man 
b sin ß -f c sin (ß + y) + d sin (¿9 + y -f d) + e sin (ß + y + <1 + = 0 
Nun ist sin (/9 + y + (f+^) = — sin a 
hieraus sin « = — [6 sin ß + c sin (ß + y) + d sin (ß + y + d)] (15) 
e 
11. Verbindet man die Formeln 10 bis 12 mit den Formeln 13 bis 15 so erhält 
man 3 Formeln für Tangente ae, A und «, und zwar unabhängig von der Seite 
e, nämlich: 
b sin ba-\- c sin ca -f d sin da 
lg ae ß cos ba+ c cos ca + d cos da) 
b sin B — c sin (ß + C) + d sin (ß -f C + D) 
19 A = a-bcos B + c cos (ß + C) - dcos (ß + C + D) 
_ b sin ß + c sin (ß + y) + d sin (ß -f y + d) 
9 a-\- b cos ß + c cos (/9 + y) + d cos (ß + y + d) 
(16) 
(17) 
(18) 
12. Den Inhalt des Fünfecks findet 
man folgender Art: 
Es ist (Fig. 646) 
A CBA = %b • asinba 
A CAE — ^e- CE’ = \e • [b sin be-{- asinae] 
= \be sin be-\-\aesinae 
und A CED = \cdsin cd 
also J — %(absinab-Ybesinbe-\-aesinae 
cd sin cd) (19) 
Man sieht dafs dies keine Formel ist, 
deren Gesetz man wie die früheren über 
sehen kann. 
Formel 4 zu Hülfe genommen, nämlich 
a sin ae b sin be + c sin ce + d sin de — 0 
gibt, wenn man mit dem in Buchstaben 
nur einmal vorhandenen letzten Gliede 
cd sin cd, oder den Factor c als gegeben 
fortgelassen, mit d sin cd beginnt, so hat 
man Formel 4 gemäfs d sin de zu schrei 
ben und über e, a, b weiter fortzugehen, 
es ist also 
d siti dc-\-e sin ec + a sin ac + bsin bc— 0 
und d sin de — — e sin ec—a sin ac — bsinbe 
Diesen Werth von d sin de in den Aus 
druck für J gesetzt gibt 
J — \ [ab sin ab -f be sin be + ae sin ae — ce sin ec — ca sin ac — cb sin bc\ 
In diesem Ausdruck sind die Winkel nicht nach einerlei Richtung bezeichnet. 
Nimmt man c als die erste Seite, also die Winkel in der Ordnung ae, be, ce, ba, ca, cb 
so hat man — ce sin ec = + ce sin ce 
— ca sin ac = -\- ca sin ca 
— cb sin bc = -f cb sin cb 
und es wird wenn man ordnet 
J = £ [ae sin ae -f be sin be -j- ce sin ce + ba sin ba -f ca sin ca -f- cb sin cfi] 
oder wenn man wie gewöhnlich mit a anfängt und die Ordnung nach b, c, d 
nimmt: (vergl. Formel 7) 
J=| (ab sin ab + ac sin ac -f- ad sin ad -f bc sin bc -f- bd sin bd -f cd sin cd) (20) 
Wenn man diese Formel durch die Umfangswinkel ausdrücken will so erhält 
man wie man Formel 8 aus 7 gefunden hat 
J = \ [ab sin B -f ac sin (ß -f C — 2ß) + ad sin (ß + C -f D — 4ß) + bc sin C 
+ bd sin (C + D — 2ß) + cd sin D] 
Hieraus reducirt: 
J=4 [absin B — acsin(B-\-C)-{-adsin(B-i-C+D)-\-bcsin C-bdsin(C+D)-\-cdsin D\ (21) 
und durch die Aufsenwinkel ausgedrückt;