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Ecke.
10
Ecke.
dann ist in der Ecke BDEC
Seite BCE + DCE > BCD
«nd in der Ecke AGEC
ist Seite GCE + ACE > ACG
addirt gibt BCA + VCG > BCI) + ACG
Nun ist Seite dcb =
DCG = BCD
daher Seite BCA > (ACG = acb)
13. Sind in zwei dreiseitigen Ecken 3
Seiten der einen den 3 Seiten der anderen
einzeln gleich, so sind auch die 3 Winkel,
die den gleichen Seiten gegenüber liegen
einander gleich; und sind die 3 Winkel
einzeln einander gleich so sind es auch
die den gleichen Winkeln gegenüberlie
genden Seiten.
Es folgt der erste Theil des Satzes un
mittelbar aus dem vorigen Satz. Denn
lägen den gleichen Seiten ungleiche Win
kel gegenüber, so wären ungleiche Win
kel von einzelnen gleichen Seiten einge
schlossen; nach dem vorigen Satz müfs-
ten aber die diesen ungleichen Winkeln
gegenüberliegende Seiten ungleich sein,
welches gegen die Voraussetzung ist.
Für den zweiten Theil denke man sich
zu der Ecke die Supplementsecke, in wel
cher nach No. 5 die Seiten die Supple
mente der in der ersten Ecke befindlichen
Winkel sind, so. hat man hier nach dem
ersten Theil des Satzes die Winkel gleich
also auch deren Supplemente und diese
sind die Seiten der ersten Ecke.
14. Eine dreiseitige Ecke wird durch
2 Seiten und dem einer von beiden ge
genüberliegenden Winkel bestimmt.
1. Wenn der Winkel und die anlie
gende Seite jede kleiner als ein
Rechter, die gegenüberliegende Seite
aber gröfser als die anliegende Seite ist.
2. Wenn der Winkel kleiner als ein
Rechter ist, die anliegende Seite grö
fser als ein Rechter und die Summe
beider Seiten gröfser ist als 2 rechte
Winkel.
3. Wenn der Winkel gröfser als 1 Rech
ter, die anliegende Seite kleiner als
ein Rechter ist, die Summe der bei
den Seiten aber kleiner ist als 2 Rechte.
4. Wenn der Winkel gröfser als ein
Rechter, die anliegende Seite gröfser
als 1 Rechter ist und die gegenüber
liegende Seite kleiner ist als die an
liegende.
ad 1. Es sei ABCS eine dreiseitige Ecke,
der Winkel BASC ist < 90°, die anlie
gende Seite v4SC < 90° und die gegen
überliegende Seite BSC :> ASC. Fällt
man aus C das Loth CD auf die Seite
ASB, zieht DS so ist ¿CSD der Nei
gungswinkel der Kante CS gegen die
Ebene -4SZ?, der kleinste unter allen Win
keln, die CS mit einer aus S auf der
Ebene ASB gezogenen Linie bildet, und
da nach Voraussetzung ¿BSC > ¿ASC,
so ist auch ¿BSD> ¿ASD (s. Ebene
No. 13). Innerhalb des ¿ASD kann also
von S aus keine Linie SB' gezogen wer
den, so dafs ¿CSB' = ¿CSB wird, und
jede Linie SB' die in der Ebene ASB
links über B hinausgezogen wird, würde
wieder einen ¿LSB' geben, der gröfser
als LSB wird, mithin ist die Ecke voll
kommen bestimmt.
Fig. 595.
ad. 2. Es seien in der Ecke ABCS die
Seiten BSC und /lSC und der der Seite
BSC gegenüberliegende ¿BASC gegeben.
¿BASC< 90°
Seite /1SC > 90°
Seite ASC + BSC > 180°
so dafs Seite BSC< und > 90° sein kann.
Verlängert man nun die Kante /IS um
ein beliebiges Stück SE, zieht EB und
EC, legt durch ESC eine Ebene, so ent
steht eine Nebenecke BCES. In dieser ist
Seite ESC= 180°- ¿SC
Seite ASC > 90°
Seite ESC <90°
und da
so ist
ferner ist
¿ BESC = ¿ BASC < 90°
und Seite ASC + ESC = 180°
da nun ASC + BSC > 180°
so ist
Seite ESC < BSC
Es ist also in der Nebenecke BCF.S
der ¿BESC <90°, die ihm anliegende
Seite ESC < 90°, die dem Winkel gegen
überliegende Seite BSC > als die anlie
gende ESC, mithin der erste Fall des
Satzes, es ist also die anliegende Ecke
bestimmt, und folglich ist es auch die
gegebene Ecke.
ad 3. Es seien in der Ecke ABCS die
Seiten ASC und BSC und der der Seite
ASC gegenüberliegende ¿ABSC gegeben
Sei
Verlang
ein Stück
in der Ne
da nun
so ist
Ferner
da nun
so ist
Es ist
der ¿EB
Seite BSC
überliege
gende. I
nur ein
lieh auch
ad^.
Seiten Bi
ASC gegi.
Verlang
Seiten /iS
meinschaft
um die b<
so entsteh
In diese
da nun
so ist
ferner ist
eben so
aber
folglich
In der
¿EFSC
FSC = 18
> 90° ist
überliegen
gende FS
Satzes nu
auch nur
15. Sin
ten und
eben den
gleich um
gen des v
Ecken ei
gleich.
Denn si
stücke in
Ordnung
Ecken na
sie in ent$
einander
