Gewölbe.
176
Gewölbe.
Wobei zu bemerken, dafs dieses letzte
7 in dem Ausdruck für A dem jedesma
ligen Maximum für n (No. 12) entspricht,
und dafs für jedes bestimmte n das aus
dem Maximum hervorgehende constante
P in jeder Fugenkante wie E, L das
selbe bleibt
Nun ist jederzeit A < 1: In No. 15 ist
berechnet, dafs für » = 1,01 der Werth
von A = 0,88459 und dafs er mit dem
Wachsthum von n immerfort abnimmt.
Da nun —— ebenfalls < 1 aber mit be
it/ <4
liebiger Abnahme von 7 dem Werthe
= 1 beliebig nahe gebracht werden kann,
so ist für sehr kleine Werthe von 7, also
für die Stellen nahe am Scheitel, — — > A
tg< f
und hiermit lg xp und xp selbst negativ:
d. h. die Mittelkraft R ist nach dem In
nern des Gewölbes gerichtet und es kann
kein Ausweichen eines Gewölbstücks nach
aufsen geschehen.
Mit dem Wachsthnm von 7 wird —
tg 7
immer kleiner und es wird einen Werth
von 7 geben, für welchen —— =M also
*3 <t
tg xp — xp — 0 ist. Dies ist der Ort, an
welchem die Mittelkraft R in das Loth
MJ fällt. Wächst 7 noch mehr, ent
fernt sich also die Fuge vom Scheitel,
so wird - — < A, tg xp wird positiv und
l 9 V
die Mitteikraft R fällt von dem Loth MJ
ab links nach aufsen.
Nun ist zu untersuchen, ob mit dem
ferneren Wachsthum von 7 auch tg xp
fortgesetzt wächst oder wiederum abnimmt,
w r o dann für ein bestimmtes 9p ein Ma
ximum für xp entstehen würde. Es wird
aber tg xp fortgesetzt wachsen, wenn der
Unterschied der Werthe von tg xp, die zu
2 zunächst auf einander folgenden Wer-
then von 7 gehören, immer positiv ist.
Bezeichnen 7' und 7 zwei zunächst auf
einander folgenden Fugenwinkel, von wel
chen 7 ' > 7 und sind xp' und xp die dazu
gehörigen Werthe der Mittelkraftswinkel,
so hat man
tg *p' - tg 'P •
A tg 7' - 7’ _ A lg 7 - tf
A + 7 ’ tg ff.’ A+ ff tg ( f
_ A sin ff.’ — ff ’ cos ff ' A sin >f — tf cos 7
A cos ff’ + tf.’ sin ff’ A cos tf + ff sin ff
_ A 2 sin{tf.’ — ff.) — A (</.' — 7) cos (tf.' — ff) + 7'7 sin (ff’ — ff)
(A cos tf’ + ff’ sin tf’) (Ä cos tf -f 7 sin tf)
A 2 + ff.’ tf - A (ff.’ - t/) cot (ff ’ - tf)
(/1 COS tf' -f- ff’ sin ff') (A COS ff -f ff sin <f)
sin (ff’ - 7)
(5)
Aus dieser letzten Form der Tangen
tendifferenz ersieht man, dafs das Vor
zeichen derselben blofs von dem des Zäh
lers abhängt, denn der Nenner und der
zweite Factor sind positiv.
Es kommt also darauf an, für welche
verschiedene Werthe von 7' und 7 der
Zähler positiv und negativ ist.
Nun ist (tf’-<f) cot (,,.'- tf) =
immer kleiner als 1, kann aber mit Ver
minderung von ff'- ff dem Werth 1 be
liebig nahe gebracht werden. Daher ist
auch A (ff’ — <f) cot (ff’ — <f) immer klei
ner als A und kann durch Annäherung
von 7’ an ff dem Werthe A beliebig
nahe kommen.
Da nun ff’ > tf so ist ff’tf > n 2
und A 2 -(- tf’tf > A 2 + 7 2
Die erstere Summe kann aber wieder
der zweiten durch Annährung von tf’ an
7 beliebig nahe gebracht werden. Aus
beiden Vergleichungen
A ('f’ — ff) cot (ff’ — tf) <A
A 2 + fp’xp > A 2 ff 2
folgt A 2 -j- tf’ff — A (ff 1 — tf) cot (tf. 1 — ff) > A 2 + ff 2 — A (6)
Es kann aber das erste Aggregat dem
zweiten beliebig nahe kommen.
Ist daher A 2 + 9p 2 — A negativ, so kann
ff' an 7 so nahe gebracht werden, dafs
auch die linke Seite der Vergleichung
negativ wird, und dann ist tg xp' - tg xp
ebenfalls negativ.
Wird A 2 + 7 2 — A = 0 so wird xp' — xp = 0
oAerxp' = xp. Wird von hier ab A*-f tf 2 — A
positiv, so wird auch tg xp’ — tg xp und
Xp’-xp posil
dem Obigen
Wachsthum
Denn da ^
A — A 2 posi
stant; es is
cp 2 > (A — A‘
dem Wachst
Ueber das
gativem A 2 -
zü bemerken
dem Obigen
bei A 2 + cp 2
oder xp’ und
<0 so mjifs
xp. Aus die!
gativ vom Si
von xp für ’V
wo tg xp unc
Werthe habt
wieder negat
für welchen
von hier ab
und xp fortdi
rt in der ui
findlichen Fi
Gibt mai
A tg re — k
~ A + « tg k
ner die Forn
1u = tgxj.
so ersieht m
abnimmt, ui
n also mit d
wölbes A ab
ten eines Ge
Fuge um so
ker es ist, u
je schwächer
Die Praxis
dem inneren
den Gewölbe
liegenden Fa
Stelle desse
dessen Verhi
Nachtheile v<
ab ist von Ii
soll das Ver
fraglichen P
werden.
A. Au ff in
Mittelkraf
gericli
Für diesei
in Formel 2
