Gleichung. 
197 
Gleichung. 
In dieser Gleichung ist der rechts ste 
hende einfachere Ausdruck entstanden, 
dafs beide links stehende Summanden 
unter einerlei Benennung gebracht wor 
den und hierauf Zähler und Nenner re- 
ducirt worden sind. Beide Gleichungen 
sind analytisch, nnd sämmtliche ana 
lytische Gleichungen haben keinen an 
deren Zweck als zusammengesetzte alge 
braische Ausdrücke zu vereinfachen, oder 
sie sind das Resultat von geschehenen 
Reductionen zu einer allgemein gebräuch 
lichen Formel, wie Beispiele in den Art.: 
„Analytische Formel und analy 
tische Gleichung“ gegeben sind. 
Solche analytische Gleichungen oder 
Formeln kommen natürlich auch mit 
transcendenten Gröfsen vor. Z. B. 
log A \ log B — log (AB) 
ist eine analytische Gleichung, nämlich 
eine logarithmische Formel, welche aus 
spricht, dafs man um den Logarithmus 
eines Products ¿u finden nur nöthig hat 
die Logarithmen dessen Factoren zu ad- 
diren. 
Die Art. „Cosinus und Cosecante“ 
haben eine grofse Menge von analytischen 
Entwickelungen. Der erste Art. hat pag. 
140, Formel 27 und 28 die beiden trigo 
nometrischen Gleichungen oder Formeln: 
cos n -f cos ß = 2 cos \ (« -(- ß). cos | (« — ß) 
cos ß — cos c( = 2 sin | (« + /?)■ sin j (a - ß) 
Beide Gleichungen durch einander di- 
vidirt und dann reducirt gibt die trigo 
nometrischen Formeln 32 und 33. 
cos a + cos ß 
cos ß —- cos « 
und 
= cot l (« + ß) • cot * (tt — ß) 
cos ß — cos ct 
7“ i (« -f ß) • tg i (« — ß) 
cos a +cos ß J a v J K 1 
Desgleichen sind die Art. Differenzial 
bis Differenzialrechnung zum grofsen Theil 
Entwickelungen neuer Formeln und Glei 
chungen aus gegebenen, die ebenso zu 
den analytischen Gleichungen gehören. 
Bestehen dagegen die gleich gesetzten 
Werthe in dem algebraisch ausgedrück 
ten Zusammenhang von unbekannten 
mit bekannten Gröfsen, und sollen diese 
Unbekannten aus dem gegebenen Zu 
sammenhang ermittelt (entwickelt) 
werden, so sind die Gleichungen alge 
braische. 
Der Art. algebraische Gleichung 
erklärt gleich zu Anfang, dafs Gleichun 
gen, in welchen die Unbekannten mit 
Logarithmen, trigonometrischen Linien, 
Differenzialen und Integralen verwickelt 
sind oder als Potenzexponenten Vorkom 
men, keine algebraische sondern trans 
cendente Gleichungen sind; und 
in der That man hat keine andere Be 
zeichnung für dieselben, wiewohl nach 
dem Obigen auch transcendente Gleichun 
gen den Character der analytischen Glei 
chungen haben. 
Der Art. Algebraische Gleichung 
handelt von den Gleichungen mit einer 
und mit mehreren Unbekannten, von den 
Gleichungen des ersten Grades und der 
höheren Grade. 
Transcendente Gleichungen können 
entweder durch Logarithmen aufgelöst 
werden oder es mufs durch Probiren ge 
schehen. Viele Gleichungen sind auch 
nur scheinbar transcendent und können 
algebraisch entwickelt werden. Z. B. 
1. Die Gleichung 
a? 2 + x log a = log b 
ist keine transcendente Gleichung. Denn 
es ist 
x = — \ log « ± |/-J (log a) 2 + log b 
algebraisch zu entwickeln und der Werth 
von x numerisch auszurechnen. 
2. Desgleichen die Gleichung 
x 3 — x tg cp = sin (cp + «) 
ist eine algebraische Gleichung w r eil mit 
m und « auch die Tangente und der 
Sinus bekannte Zahlengröfsen sind. 
3. Die Gleichung 
log x -f log (a + x) — b 
ist transcendent, sie kann auch nur durch 
Probiren gelöst werden. 
4. Die Gleichung 
log x + log (ax) = b 
dagegen ist algebraisch. Denn es ist 
log (ax) = log a + log x 
folglich hat man 
2 log x + log a = b 
woraus log x = \(b— log a) 
5. Die Gleichung a" — b 
ist transcendent, kann aber in eine alge 
braisch logarithmische Gleichung umge 
formt werden, nämlich in 
x log a — log b 
log b 
woraus x = —-— 
log a 
6. Dagegen ist die Gleichung x c = b 
transcendent und bleibt auch durch Um 
formung transcendent, denn man erhält 
x log x = log b 
und diese Gleichung ist nur durch Pro 
biren zu lösen.