Gröfse. 
226 
Gröfstes. 
= (p8 4-1) j/2 die Zahlen des ersten Fac 
tors nicht zu addiren. 
Geometrische Gröfsen werden behufs 
des Calcüls oft als discrete Gröfsen be 
handelt, dann sind die Hypotenuse und 
die Catheten eines rechtwinkligen und 
zugleich gleichschenkligen Dreiecks in- 
c'ommensurabel. Denn ist die Cathete 
= a, so ist die Hypotenuse = «1/2. 
Arithmetische Gröfsen, welche weder 
die Eins noch einen aliquoten Theil von 
Eins zur Einheit haben, heifsen irratio 
nale Gröfsen im Gegensatz zu den ra 
tionalen, welche bestimmte Vielfache 
der Eins oder eines aliquoten Theils der 
Eins sind. 
Gröfsen, welche ermittelt werden sol 
len, heifsen unbekannte Gröfsen; 
Gröfsen, die gegeben werden, um unbe 
kannte Gröfsen zu finden, heifsen be 
kannte Gröfsen. 
Gröfsen, die eine bestimmte Anzahl 
von gleichartigen Theilen ausmachen, 
heifsen endliche Gröfsen; Gröfsen, 
bei denen die Anzahl gleichartiger Theile 
in ihr durch keine noch so grofse Zahl 
angegeben werden kann, heifsen unend 
liche Gröfsen. 
Eine der merkwürdigsten Beziehungen, 
in welchen gleichartige Gröfsen mit ein 
ander stehen, ist die E ntgegengesetzt- 
heit. S. darüber den Art.: E nt gege n - 
gesetzte Gröfsen. 
Eine der merkwürdigsten und interes 
santesten Gröfsen ist die Winkelgröfse, 
welche in der Neigung oder Abweichung 
zweier in einem Punkt zusammentreffen 
den geraden Linien besteht, und die auch 
als Gröfse nur dadurch zur Erscheinung 
kommt, dafs der Winkel durch einen von 
dem Scheitelpunkt als Mittelpunkt aus 
zwischen beide Schenkel gezeichneten 
Kreisbogen in seinem Verhältnifs zum 
Kreisumfang gemessen wird. 
Endlich ist noch der Zeitgröfse als 
einer ganz eigenthümlichen Gröfse Er 
wähnung zu thun. Sie ist eine conti- 
nuirliche Gröfse, eine unsichtbare Linie, 
die auf einer Seite ohne Ende, nämlich 
in der Vergangenheit ohne Anfang ist, 
die in jedem Augenblick einen ganz be 
stimmten Endpunkt, die Gegenwart 
hat und ohne Mitwirkung einer Gröfse 
anderer Art über diesen Endpunkt hinaus 
sich stetig verlängert. 
Gröfsenlehre, die Lehre von den Grö 
fsen, die Mathematik. 
Gröfstes und Kleinstes oder gröfs- 
ter und kleinster Werth einer Function 
ist an sich klar; und um den einen oder 
den andern zu finden lehrt die „Diffe 
renzialrechnung“, III., pag. 298, den 
dafür entsprechenden Werth der Verän 
derlichen bestimmen, von welcher die 
Function abhängig ist. Es gibt aber Func 
tionen, die in verschiedenen Intervallen 
für die Werthe der Urveränderlichen (x) 
auch verschiedene gröfste und kleinste 
Werthe der Function (X) geben, und da 
her wird in dem eben angeführten Art. 
der Begriff von Gröfstem und Kleinstem 
dahin einschränkend definirt, dafs diese 
gröfsten und kleinsten Werthe innerhalb 
bestimmter Grenzen für die Werthe von 
x nur gelten, weil aufserhalb dieser Gren 
zen wiederum andere grölste und kleinste 
Werthe der Function statt finden können. 
Es sei 
X = x 3 — 5a; 2 — x -f- 5 
Setzt man X = 0 so hat man die Wur 
zeln der Gleichung —1, +1, +5; dem 
nach hat man für x = — 1; x = + 1 und 
x — + 5 die Function X = 0 und zwi 
schen diesen 3 Grenzen müssen andere 
Werthe mit einem gröfsten oder einem 
kleinsten Werth jedesmal statt finden. 
Setzt man x negativ gröfser als — 1, 
so entstehen negative Werthe von X, 
die mit dem negativen x auch negativ 
wachsen, und für x = — oo wird auch 
X = — oo, so dafs von diesem absoluten 
Minimum X = — co bis zu X = 0 für x=—1 
weder ein gröfster noch ein kleinster 
Werth von X existirt. Dasselbe entge 
gengesetzt findet für Werthe von *>5 
statt und für x = 4- co wird auch X — oo 
und zu einem absoluten Maximum. 
Zwischen x = — 1 und x = -\-1 für welche 
beide Werthe X =0 wird, ist ein Werth 
X — — 0,1 für welchen X = + 5,051 als 
gröfster Werth entsteht. 
Es ist mithin, da 
für x = — 1 für x — — 0,1 für x = -f 1 
X = 0 V = +5,051 X=0 
X für x = — 0,1 ein Maximum zwischen 
den Grenzen x = — 1 und x = -f-1, oder 
vielmehr, da von *= — 0,1 auch X bis 
für * = — oo fortwährend abnimmt, das 
X = -f 5,051 ein Maximum zwischen den 
Grenzen von x = — <x> bis zu a? = + l. 
Zwischen den Werthen * = -f 1 und 
* = -f 5 ist ein Werth x = 3,43 bei wel 
chem X ein Minimum ist. 
Für*=+1 + 3,4 + 3,43 + 3,5 +5 
ist V=0 -16,896 -16,901 -16,875 0 
Es ist also dieses Minimum für das 
Intervall * = -f 1 und * = -j- 5. Die Func 
tion hat also 2 Minima und 2 Maxima,