Gröfstes. 
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Gröfstes. 
Die Differenzialrechnung gibt nun eine 
ganz allgemein geltende Auflösung für 
die Auffindung des Gröfsten und Klein 
sten von Functionen; sie ist aber auch 
oft durch einfache Betrachtung oder durch 
arithmetische und geometrische Operation 
zu erhalten. 
Z. B. 1. die Verbindung zweier Punkte 
durch eine gerade Linie ist die kür 
zeste. D. h. Die gerade Linie ist unter 
allen zwischen zwei Punkten möglichen 
Linien das Minimum, welches ein Lehr 
satz in der Elementargeometrie ist. 
2. Unter allen geraden Verbindungs 
linien zwischen einem Punkt und einer 
geraden Linie oder einer Ebene ist die 
Normale die kürzeste. (Das Minimum). 
Dieser Satz ist ein Lehrsatz der Elemen 
targeometrie. 
3. Unter allen Sehnen eines Kreises 
ist der Durchmesser der gröfste. (Desgl. 
Elem.-Geom.) 
4. Es sei die Linie AB als Grundlinie 
von Dreiecken gegeben, deren Spitzen in 
die gleichfalls gegebene mit AB in der 
selben Ebene liegende grade Linie XX 
fallen sollen, so hat dasjenige ajler Drei 
ecke den kleinsten Umfang, dessen Schen 
kel AC, BC mit der Linie XX gleiche 
Winkel bilden. 
Fig. G80. 
Denn zeichnet man ein beliebiges an 
deres AABI), fällt die Normale AF auf 
XX, verlängert dieselbe bis in die Ver 
längerung CE von BC, zieht DE so ist 
AC= CE 
also AC+BC = BE 
eben so AD = DE 
also AD A DB = DE + DB 
Nun ist aber 
DE + DB > BE 
also AD -f ÜB > AC -f BC 
Da dies nun von jedem beliebigen 
Dreieck gilt, dessen Spitze D in einem 
anderen Punkt als C von XX liegt, so 
sind die Schenkel AC + BC in Summa 
die kürzesten und der Umfang des &ABC 
ist ein Minimum.' 
5. Denkt man sich die Linien XX4-AB, 
so hat man den Satz, dafs unter allen 
Dreiecken von einerlei Grundlinie und 
gleicher Biöhe, also von gleichem Flächen 
inhalt das gleichschenklige Dreieck den 
kleinsten Umfang hat. 
Hieraus folgt: 
6. Unter allen Dreiecken von derselben 
Grundlinie und gleichem Umfange hat 
das gleichschenklige die gröfste Höhe und 
folglich auch den gröfsten Flächeninhalt. 
Denn da unter allen Dreiecken von einerlei 
Grundlinie und Höhe das gleichschenk 
lige Dreieck den kleinsten Umfang hat, 
so haben alle nicht gleichschenkligen Drei 
ecke von gleichem Umfange mit dem 
gleichschenkligen bei einerlei Grundlinie 
auch kleinere Höhen als das gleichschenk 
lige. 
Ferner folgt: 
7. Unter allen Dreiecken von gleichem 
Umfang ist das gleichseitige das gröfste. 
Denn denkt man sich das gleichschenk 
lige Dreieck ad 6 über einer Grundlinie 
von der Länge eines Schenkels, so folgt 
der Satz unmittelbar. 
Endlich: 
8. Unter allen Dreiecken von gleichem 
Inhalt hat das gleichseitige den kleinsten 
Umfang. 
Beschreibt man mit dem Schenkel des 
gleichschenkligen Dreiecks No. 5 einen 
Kreis, trägt die Grundlinie «mal als Sehne 
ein, so hat man das neck im Kreise = 
dem «fachen Dreieck. Da nun, was von 
dem einen Dreieck gilt auch von den 
«Dreiecken in Summa gilt, so hat man 
noch folgende Sätze: 
9. Unter allen gleich vielseitigen Viel 
ecken von gleichem Flächen-Inhalt hat 
das regelmäfsige den kleinsten Umfang. 
10. Unter allen gleichvielseitigen Viel 
ecken von gleichem Umfang hat das gleich 
seitige den gröfsten Inhalt. 
11. Unter allen in einen Kreis geschrie 
benen Dreiecken ist das gleichseitige 
Dreieck das gröfste. Denn unter allen 
über einer Senne in den Kreis beschrie 
benen Dreiecken ist das gleichschenklige 
das gröfste, weil es die gröfste Höhe hat. 
Beschreibt man nun über einem der 
Schenkel ein gleichschenkliges Dreieck, 
so ist dieses wieder das gröfste aller über 
dem Schenkel in den Kreis beschriebe 
nen Dreiecken, und wird jedenfalls grö-