Guldins Regel. 
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Guldins Regel. 
Linie AC von der Länge l. Hat jedes 
Element derselben das Gewicht p, so ist 
das Gewicht der Linie = lp. Nennt man 
allgemein k den Abstand irgend eines 
Elements p von dem Endpunkt C der 
Linie, so ist die Summe der Abstände 
aller Elemente von C = Zk und die Summe 
der statischen Momente aller Elemente 
in Beziehung auf den Punkt C ist = p-Zk. 
Diese Momentensumme ist nun = dem 
statischen Moment der Mittelkraft lp und 
da der Abstand des Schwerpunkts der 
Linie, des Orts der Mittelkraft = \l ist, 
das statische Moment der Mittelkraft 
= \Pp. Mithin hat man 
P‘Zk = kPp 
Denkt man sich nun die Linie AC in 
einer Ebene um den Endpunkt vollstän 
dig umgedreht, so beschreibt die Linie 
eine Kreisebene. Das beliebige Element 
p in dem Abstand k von C beschreibt 
die Kreislinie 2nk und die Summe sämmt- 
licher von sämmtlichen Elementen der 
Linie AC beschriebenen Kreislinien ist 
2nZk. 
Da nun die Elemente unendlich nahe 
an einander liegend gedacht werden müs 
sen, so liegen auch die von diesen Ele 
menten beschriebenen Kreislinien unend 
lich nahe aneinander und deren Summe 
kann als der Flächenraum des von AC 
beschriebenen Kreises betrachtet werden. 
Nun ist Geschwindigkeit nichts anderes 
als Weg in einer bestimmten Zeit; und 
da sämmtliche Elemente p ihre Kreis 
linien gleichzeitig beschrieben haben, so 
machen sämmtliche von ihnen beschrie 
benen Kreislinien '2nZX die Summe ihrer 
Geschwindigkeiten aus und es ist 2np-Zl 
die Summe der mechanischen Momente 
sämmtlicher in Bewegung befindlich ge 
wesener Kräfte. 
Die Mittelkraft = lp hat aber die Kreis 
linie mit dem Halbmesser \l beschrieben, 
deren mechanisches Moment ist also = 
2/7 • lp* kl =71 Pp 
Mithin ist 2rtpZk = TiPp 
oder 2nZk~TiP 
d. h. die Kreisfläche hat den Inhalt nP. 
Eben so wird der Beweis für den In 
halt der Umdrehungskörper geführt. 
Da die Bestimmung des Schwerpunkts 
oft sehr schwierig ist, und oft in com- 
plicirten Ausdrücken erscheint, so ist die 
Guldinsche Regel nur in einfachen Fäl 
len zu Bestimmung von Umdrehungs- 
gröfsen anzuwenden. Dagegen kann sie 
für Flächen und Körper, deren Gröfsen 
bekannt sind dazu dienen, die Lage der 
Schwerpunkte leichter zu finden als es 
nach statischen Regeln geschehen kann, 
wobei zu bemerken, dafs eine vollstän 
dige Umdrehung nicht erforderlich ist. 
Z. B. Der Inhalt der Kugel ist bekannt 
= $nr 3 
Der Inhalt des Halbkreises desgl. 
+77 r 2 
Bezeichnet man nun den Abstand des 
Schwerpunkts im Halbkreise von dem 
Mittelpunkt mit x, so ist die mit x be 
schriebene Kreislinie = 2nx daher 
271XX j77r 2 = $77T 3 
4 
woraus x = — r 
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