Halbviermalsechsflächner. 233 Harmonische Proportion. 
Halbviermalsechsflächner, II e m i t e - 
trakishexaeder, Pentagondodeka 
eder. Diese Krystalle haben 12 Flächen 
in symmetrischen Fünfecken, 30 Kanten 
und 20 Ecken. Die Fünfecke sind sehr 
nahe regelmäfsig, 4 Seiten b sind ein 
ander gleich, nur die 5te a ist verschie 
den. Der dieser Seite gegenüberliegende 
Winkel A ist von eigener Gröfse; B, B 
unter sich und C, C unter sich sind ein 
ander gleich. 
Fi ff. P>84. 
Die Kanten sind zweierlei: 6 Kanten 
(Grundkanten) a werden von den glei 
chen Seiten a und 24 Kanten b von den 
gleichen Seiten b gebildet. 
Die Ecken sind sämmtlich dreiflächig: 
Die an beiden Enden der Grundkanten 
liegenden 12 Ecken B sind irregulär. 
Diese Ecke wie B’ wird von einem einer 
Grundkante gegenüberliegenden /_CB’D 
und zweien an einer Grundkante liegen 
den Winkeln CB'B und Bli’D einge 
schlossen. Die übrigen 8 dreiflächigen 
Ecken wie D sind reguläre, die sie ein 
schliefsenden Winkel sind die mittleren 
gleichen Winkel C. 
Je 2 einander gegenüberliegende Flä 
chen sind parallel, die 3 octaedrischen 
Axen verbinden die Mittelpunkte zweier 
gegenüberliegenden Grundkanten a, die 
4 hexaedrischen Axen verbinden je 2 
Hexaederecken wie D. 
Halbvierundzwanzigflächner, Hemi- 
icositetraeder, Pyramidentetra 
eder. Diese Krystalle haben 12 Flächen 
in gleichschenkligen Dreiecken, 18 Kan 
ten und 8 Ecken (Fig. 685) Die Kan 
ten sind 6 schärfere und längere «, die 
eine gleiche Lage haben und von den 
Grundlinien der Flächen gebildet werden; 
die übrigen 12 Kanten 6 sind stumpfer 
und kürzer und werden von den Schen 
keln der Flächen gebildet. 
Von den Ecken sind 4 sechsflächig 
symmetrisch A, die übrigen 4 sind drei 
flächig und gleichkantig (B). 
Die 3 octaedrischen Axen verbinden 
die Mittelpunkte zweier gegenüberliegen- 
Fig. G85. 
den längeren Kanten, die 4 hexaedri 
schen Axen verbinden die sechsflächigen 
Ecken mit den ihnen gegenüberliegenden 
dreiflächigen Ecken. 
Halbzirkel, s. V. w. Halbkreis. 
Halbzweimalzwölfflächner, Ilemidi- 
dodekaeder, Skaleno e der, Drei- 
unddreikantner, s. d. 
Hallströms Tabelle für Ausdehnung 
des Wassers bei verschiedenen Tempera 
turen mit Hülfe von Differenzen berech 
net, s. Bd. II., pag. 255. 
Hapsologarithmus, s. u. Antiloga 
rithmus, 1. 
Harmonikalen, s. II a r m o n i s c h e T h e i - 
1 u n g am Schlufs. 
Harmonische Proportion ist eine Pro 
portion zwischen 4 Gröfsen der Art, dafs 
die Differenz zwischen der ersten und 
zweiten zur Differenz zwischen der drit 
ten und vierten sich verhält wie die erste 
zur vierten als: 
a— b : c — d = a: d (1) 
Für b = c entsteht die stetige har 
monische Proportion 
a — b : b — d = a : d (2) 
und aus dieser die contra-harmonische 
Proportion (s. d.) 
a — b : b — d = d : n (3) 
Aus der ersten findet man bei 3 ge 
gebenen Gröfsen die 4te, wenn man 
schreibt 
ad — bd = ac — ad 
bd 
woraus a — - , 
2a — c