Harmonische Proportion. 
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Harriots Lehrsatz. 
Ä = 
a (2d — c) 
_(2 a-b)d 
d = 
Punkt D der Linie AB ziehe man DF 
4 AE, verlängere FD bis G, so dafs 
Fig. 686. 
und - — 7 
2a —b 
Aus der stetigen harmonischen Pro 
portion hat man 
ad — bd = ab — ad 
bd 
also das Seitenglied a = ——^ 
ab 
d = 
2a- b 
2 ad 
a 4 d 
und das Mittelglied b = 
Zwischen den beiden Zahlen a und d ist 
das arithmetische Mittel = (a + d) 
das geometrische Mittel = \'ad 
tn . . . 2ad 
Da nun + (a + d): \‘ad = \'ad : — 
so verhält sich das arithmetische Mittel 
zweier Zahlen zu dem geometrischen 
Mittel wie das geometrische Mittel zu dem 
harmonischen Mittel. Oder es ist das 
geometrische Mittel zweier Zahlen zu 
gleich das geometrische Mittel zwischen 
dem arithmetischen und dem harmoni 
schen Mittel derselben Zahlen. 
Harmonische Reihe, harmonische Pro 
gression ist eine Reihenfolge von Zah 
len, von welchen je 3 aufeinander fol 
gende Glieder in stetiger harmonischer 
Proportion stehen. Sind die Zahlen a, 
b gegeben, so bilden dieselben mit den 
Zahlen c, d, e... eine harmonische Reihe 
ab bc cd 
wenn c = -— r ; d =——• 
2a—b 2b— c 
Harmonische Theilung einer Linie AB, 
Fig. 686, geschieht durch 3 Theile, die 
in stetiger harmonischer Proportion mit 
einander stehen. Als: 
AB-AD:AD-AC=AB:AC 
Schreibt man BD für AB — AD und 
CD für AD — AC, so hat man 
BD:CD = AB:AC 
oder AB : AC = BD : CD 
oder AB : BD = AC:CD 
Die Linie wird also harmonisch getheilt 
wenn die ganze Linie zu einem der äufse- 
ren Theile sich verhält wie der andere 
äufsere Theil zum mittleren Theil. 
Es ist nun leicht, eine gerade Linie 
harmonisch zu theilen. Man nehme aufser- 
halb der Linie AB einen beliebigen Punkt 
JE, ziehe AE, BE: von einem beliebigen 
;C= 2i=d U - S - W - 
DG= DF, ziehe GE, so ist die Linie AB 
durch die Punkte C, D harmonisch ge 
theilt. 
Denn es ist 
AB:BD = AE: DF= AE: DG=AC:CD 
Die Linien AE, BE, CE, DE heifsen 
die Harmonikalen. 
Harriots Lehrsatz. Dieser heifst: Wenn 
eine Function von x, nämlich fx = 0, als 
vollständige Gleichung von beliebig 
vielen Wurzeln gegeben ist, so hat die 
Gleichung nicht mehr positive Wurzeln 
als Zeichenwechsel und nicht mehr ne 
gative Wurzeln als Zeichenfolgen in der 
Gleichung Vorkommen. Hat die Glei 
chung lauter reelle Wurzeln, so ist die 
Anzahl der positiven Wurzeln gleich der 
Anzahl der Wechsel und die Anzahl der 
negativen Wurzeln gleich der Anzahl der 
Folgen. 
Hat eine Gleichung nur positive Wur 
zeln «, ß, y ..., ist also 
X — (x — «) (x — ß) (x — y)... = 0 
so hat sie die Formen 
x — A = 0 
x 2 — Ax + B = 0 
x 3 — Ax 3 -f Bx — C = 0 
u. s. w. 
Die Gleichungen haben alle keine Zei 
chenfolgen, sondern nur Zeichenwechsel, 
und eben so viele Wechsel als Wurzeln 
vorhanden sind. 
Hat eine Gleichung nur negative Wur 
zeln a, b, c..., ist also 
X = (x -f a) (x + b) (x + c)... = 0 
so hat sie die Formen: 
x + A = 0 
x 2 + Ax -j- B = 0 
x 3 -f- Ax 2 4 Bx 4 C = 0 
u. s. w.