Hyperbel. 
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Hyperbel. 
/ '* Bu _ t y m 2 — a 1 1 • 
m 5 “ 4 + 2T 
1 • 3 j/w 2 - a 2 , 1-3 
2 • 4 • ci- 
arc sec — 
. V'“ 2 ~ « 2 , 1^5 |/w 2 - a 2 1-3-5 # ]/m 2 
8 ß 2 ?t 6 4-6 ß 4 m 4 2-4-6 ß® m 
2 1-3-5 
6 „2 + 
0 . c 7 arcsec — 
2-4-6 • ß 7 ß 
u 7 |/« J -a 2 
u. s w. 
Da der Rogen vom Scheitel anfängt, so ist er = 0 für u = n. Da nun die In 
tegrale entweder den Factor btt 2 — a 2 oder den Factor sec— haben, so wird jedes 
Integral =0 für u~a und die Constante fällt fort. 
Die Werthe sämmtlicher Integrale zusammengestellt ergehen den Bogen 
;. = liZEiT, « 2 _ + a.± 2 \ 
n L 16 w 2 4 111 \ ‘ - «-/ 
i 8 / « s . , ß 4 , 15 ß 2 \ 
- « • Tfo" V^ + ** m 4 + “8 ' W 2 / • V ‘ ‘ ‘-I 
—+ T« M 2 + rb- » 4 + g f|62 “ i; + ••••] ««• arc sec 
20. Quadratur der Hyperbel. Die allgemeine Quadraturformel für recht 
winklige Coordinaten steht Bd. II., pag. 192 
F=fyBx + C 
c 2 
Nun ist t/ 2 = —g (2ax + x 2 ) 
Mithin ist die Ebene EDG = * V(? ax + x *) 
Nach der allgemeinen Integralformel 
6 2 
hat 
f\ hx 4- c.t 2 = — l/bxA- ca; 2 • ln 
4c 1 T 8 c\c 
lh -f 2ca; , _ - 
\ 2[/ 
2[/c 
-f | bx -f cx 2 
F=-^- 1' ^ ax + 3:2 — i" 2 bt ( a + x + ] 2ßa; -f a; 2 )-f cj 
Für x — 0 wird F— 0, man hat also zur Bestimmung der Constante 
0 = — 4ß 2 • ln ß -f C 
woraus C = + 4« 2 • ln a 
und vollständig 
F=± [i±£ ,/SS+P - W ■ In (" + * + 
Setzt man x — u — a so erhält man 
F = — u b« 2 — ß 3 — « 2 ln 
2a |_ 
u + b w2 — ß 2 
(61) 
(62) 
21. Es ist A DMG = £ (ß + a;) y = +«</ 
= — (ß + a?) b2«a; -f a; 2 = — m b« 2 — fl 2 
uCl 
Zieht man hiervon ab die Ebene F=EDG (Formel 61 — 62), so erhält man 
die zwischen den geraden ME, MD und dem Bogen ED liegende Fläche 
„ n „ , , a + x + b2 ax + * 2 m + j/« 2 — « 2 
MDE = jßc • logn = ^ fle • logn 
(63) 
22. Setzt man (wie No. 11, Formel 46) den Durchmesser MD = a, so ist MG 
= (ß + x) = a, cos t); und da zugleich |/2«ar + a- 2 = — y — —a, sin g, so hat man nach 
Formel 63 
Ebene MDE = Jac log,, ± . - »»■ 1 + ° 1 (64) 
oder Ebene Mt= jac log,, ±f> (65)