Hyperbel. 
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Hyperbel. 
so ist 
i/= _( M 2_ a 2) 
0!/ C 2 17 
0u a 2 y 
Nun ist die Oberfläche, welche ent 
steht, wenn der hyperbolische Bogen ED 
um die Axe sich dreht: 
Fu = 2nfy J/l + ^*(y) 9w = j/y 2 + w 2 9« 
= 2/7 / 1/ ~ (u 2 — «) 2 -f ^ it 2 0m = 2/7 -Lyj/e 2 w 2 — a 4 0« 
J r a 4 et 4 er 
Nun ist /j/e 2 M 2 — a 4 0m = p 7 e 2 « 2 — n 4 — ~ bi (eil -f- j/e 2 w* — et 4 ) -f C 
Für 17 = a wird F = 0 mithin hat man das / für u=a 
0 = 4« |/e 2 « 2 — « 4 — bi [e« + ]/e 2 a 2 — a 4 ] -f C 
2e 
e< c a* 
woraus C = — — + — bi (e + c) « 
und das vollständige Integral 
M /”*—5 1 « 2 , eM+l/e 2 M 2 — et 4 
F= 77C -=• l/e 2 w 2 — a 4 — c bi —■— 
L« 2 e a (e + c) J 
(75) 
30. Für die Umdrehung des Bogens ED um eine in M auf der Axe befind 
liche Normale ist 
F=2„y»j/l+ (|*) S 8y 
= <in t f K \ 1 + ;x’ 9» = ^/|Vsr’ + 
„ovaus F=^- + + +C ] 
Für 1/ = 0 wird F = 0 mithin 
e 4 
0 = 277« • — ln c 2 -f- C 
2e 
mithin vollständig und reducirt 
•=„«[uy 
y 2 + C 4 + c 2 ^ei/ + y e 2 y 2 + c 
5 ] 
(76) 
31. Für die Umdrehung des Bogens gleichung gehörende Abscisse ist aber 
ED um die Asymptote ML ist die Ab- SfF+ D Vcos (2d), die zugehörige recht- 
scisse = MV, die Ordinate = VD ; beide winklige Ordinate = DV sin 2<5. Bezeich- 
bilden schiefwinklige Coordinaten. net man nun MV mit x, DV mit y, so 
Die zur rechtwinkligen Coordinaten- hat man nach No. 30 die Quadraturformel 
F=*„ A .»(M> l/l + ¡^1—g£r,»<« + ,2,1) 
r [d(a:-f- y cos2ci)J J 
= 2/7 fy sin (2d) ^[0 (y sin 2J)] 2 + [0 (x -f y cos 2d)] 2 
und die Klammern aufgelöst 
F = 2/7 fy sin (24) l (0y) 2 + (0a;) 2 + 20a: • 0y cos (2d) 
= 2« fy sin (2d) 1/ + 1 + 2 ^ cos (2 J) dx 
e 2 
Nun ist x • y — Je 9 , also y = —