Imaginäre Gröfsen. 
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Imaginäre Gröfsen. 
Quotienten der imaginären Gröfsen von der Form A ± Bi lassen sich also auf 
dieselbe Form A ± Bi bringen. 
9. Es ist (A 4 Bi)" = q" (cos cp -f i sin cp)" 
Denn es ist 
(cos cp -f i sin cp) (cos cp, 4 i sin cp,) = cos (cp + cp,)-\-i sin (cp 4- cp,) 
Multiplicirt man noch mit (cos cp 2 + i sin cp t ) so erhält man das Product aus den 
3 Factoren = cos (cp 4 cp, + cp 2 ) 4 * sin (cp 4 cp, 4 cp 2 ) und so fort ein Product von 
n Factoren = 
cos (cp 4 cp, 4 cp 2 + cp n _ i) 4 i sin (<p 4 cp, 4 (p t 4 • • • • 
Setzt man cp — cp, = cp 2 = cp 3 = .... cp n _ 1 , so hat man 
(cos cp 4»**» cp)" = cos (ncp) 41 sin (ncp) 
Demnach ist 
(A 4 Bi)" = q" [cos (n cp) 41 sin (ncp)] — A, 4 B,i 
Also die Potenz einer imaginären Gröfse von der Form A-\- Bi läfst sich auf 
dieselbe Form A-\- Bi bringen. 
10. Dafs log (A 4 Bi) sich in die Form A 4 Bi bringen läfst, ist folgendermafsen 
zu erweisen: 
Es ist Bd. III., pag. 67 
1 ^(2) (3)^(4) 
(») 
Bd. II., pag. 145, Formel IV. 
. « 3 « 5 rt 7 « 9 
(1) 
(2) 
Daselbst Formel V. 
a 2 a 4 a 6 « 8 
COi 
Setzt man cpi für x in Formel 1, ferner cp für a in Formel 2 und 3) so erhält 
man 
e ±*i = i 
1 (2) ^ (3) ' (4) (5) (6) T (7)^(8) 
OP 3 i ep 5 i cp 7 i cp 9 i cp il i 
isincp = cpi~% 4^-^4^-^4 (5) 
(3) 
(4) 
(3) 1 (5) (7) + (9) (11) 
Cp 2 , cp* cp 6 cp 8 OP 10 
cos fß = 1 — — 4 J— + J- —4 
cos cp (2) T (4) (6) r (8) 10 T 
(6) 
Addirt man nun Formel 5 und 6, so Zeichen, also 
erhält man Formel 4, mit den oberen e —‘P' = cos cp — i sin cp 
Zeichen und demnach ist woraus e ± = coscp ±i sin cp (7) 
e" - cos cp 4 * sin cp Nun ist e die Basis der natürlichen 
Subtrahirt man Formel 5 von 6, so Logarithmen, lne= 1, folglich: 
erhält man Formel 4 mit den unteren ± cpi = log (cos cp ± i sin cp) (8) 
also log g ± cpi — log g (cos cp ± i sin cp) = log (A ± Bi) 
Also log (A ± Bi) — log g ± cpi (9) 
also ebenfalls von der Form A ± Bi. 
11. Es läfst sich nun auch beweisen,dafs 
sin (A ± Bi) = einer Gröfse A' 4 B’i 
desgl. dasselbe von Cosinus, Tangente 
und allen übrigen trigonometrischen Func 
tionen : 
Aus Formel 7 No. 10 hat man 
e‘f’' = cos cp 4 * sin cp 
e 1 = cos cp — i sm cp 
durch Addition und Subtraction hat mau 
cos cp — 4 (e^ 1 4 e - ^') (1) 
sin cp = (e 4> ' — e~^') (2) 
durch Division beider Gleichungen in 
einander