13. Die Formeln 7 No. 10 und 1, 2 No. 11 eignen sich dazu, die Summen 
mehrerer unendlicher abnehmender Reihen in einfachen Ausdrücken anzugeben. 
Z. B. Die folgende Reihe, in welcher x — einem ächten Bruch ist: 
, 0 sin2cp , „sin 3 ® . ,, sin (ncp) 
Der Kürze wegen soll die Summe aller unendlichen Glieder der .Reihe durch 
das allgemeine Glied mit Vorgesetztem Summenzeichen ausgedrückt werden, so dafs 
fx sin(ncp) v j e i bedeutet. 
J («) 
Setzt man nun in Formel 2, No. 11 für cp den Werth ncp, so erhält man das 
allgemeine Glied dieser Reihe 
x' 1 e""h 
-sinn ( j p = -. 2i 2ij 
und wenn man für n hintereinander die Werthe 1, 2, 3, ....n setzt und sämmt- 
liche Gleichungen addirt, so erhält man 
fx n . 1 T f(xe^y f'(xe- i *y\ 
y=J ^nncp = ¥i yj 1^) ) 
fixe 1 *)” 
-J (n) 
•>_ _ /*(xe~~ 1 ^)" 
(n) 
Nun ist Formel 1, No. 10, wenn man 
auf beiden Seiten 1 subtrahirt 
f! — 1 — 1 1 
1 + (2) + (3) + («) 
oder wenn man für x die Werthe 
xe^’ und xe~ tcf> setzt 
Hieraus 
Setzt man die Werthe aus Glei 
chung 7 No. 10 so erhält man 
y _ X (cos <P -t- isill if>) g.T (ros cf> — i sin -/>)j - ß x COS i/> ^ 
g.Xi S/72 </> — xisin <P 
2i ~ 
Der zweite Factor stimmt aber mit der rechten Seite der Formel 2, No. 11 
überein, wenn man statt cp den Werth x sin cp setzt; demnach ist 
y = e 0CC0> “P . sin (x sin cp) 
14. Es sei gegeben 
, . cos 2 
. = + (3) - w 
x" 
In Formel 1, No. 11 für cp den Werth ncp gesetzt und mit multiplicirt, gibt 
-* cos ncp = (e hl + +e~ c in + + e~ ; ß 
_ [(xe**)" (xe-i+y- 
~*L « (») . 
/V 
Wieder die Formel e x — 1— / — angewendet, indem man für x die Werthe 
«/ (n) 
xe 1 ^' und xe~ tl ^ setzt, gibt 
e J* + e xe~ if _ßxj+) n 
i* —*u> 
\(„xe i „a?e \ 
* = t \ e + e )