Imaginäre Gröfsen. 
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Immensurabel. 
Dieser 2te Factor stimmt aber mit der rechten Seite der Formel 1, No. 11 
überein, wenn man statt cp den Werth x sin cp setzt. 
Demnach ist z = e a ' cos ^ • cos (x sin cp) 
Beispiele zu No. 13 und 14. 
Es sei x = |; cp = 30° also Bogen cp = {-n 
Nun ist also ij — e* COSo0 ° s in (£ sin 30°) = 3 sin (£) 
Hieraus ln y = £F3 + ln sin 21° 29' 9" 
und ln z = f-J/3 -f ln cos 21° 29' 9" 
ln y = 0,6495190 - 1,0043814 = - 0,3548624 
ln z — 0,6495190 - 0,0720246 = 0,5774944 
hieraus log br y = 0,845 8852 — 1; y = 0,70127 
log brz = 0,250 8026; z = 1,78157 
15. Es sei v = x sin cp + x 2 sin 2cp -f- x z sin Scp -f- x n sin ncp 
x = einem ächten Bruch. Man soll die Summe v = fx" sin ncp bestimmeu. 
Es ist nach No. 13 
e h> f _ e — in\p 
sin ncp — — 
und x" sin ncp = ~r [(«e' 1 ' )" — 
und fx n sin ncp = ± -ßxe^y - ~ Axe-^) n 
Nun ist aber in der Reihe (s. Bd. III., 
pag. 151, Formel 4) 
a + ne -f- ae 2 + ..... «e” —1 
wenn e < 1 ist, 
1 — e” 
1 — e 
a 
Für n = oo ist e" = 0 und 
r n—l 
Jae 
a 
1 — e 
wenn man nun a = e = z setzt, so ent 
steht die Reihe 
z z 2 -)- z 3 -f- ... z" in inf 
und /z " = —— 
1 — z 
Setzt man hierein für z die Werthe 
xe 1 ')’ und xe~' , 1’ zieht die 2te Formel von 
der ersten ab und multiplicirt beidersei 
tig mit so erhält man 
fx n sin ncp = ~ (— 
2t 
e- f + \ 
xe~’^/ 
xe’^ 1 — xe' 
Nimmt man x zum gemeinschaftlichen Factor, bringt beide Brüche auf ge 
meinschaftliche Benennung und reducirt., so erhält man 
fx n si 
sin ncp = 
8 
2 i 
2 i 
l + xt-xCe** + 6-''*) 
1 -)- x 2 — 2a? 
.»> 
+ e 
-»> 
Nun ist nach Formel 2, No. 11 der Zähler = sin cp, und nach Formel 1, No. 11 
der Bruch im 3ten Gliede des Nenners = cos cp. 
Mithin hat man 
y- x sm( P 
1 + x 2 — 2x cos cp 
16. Auf dieselbe Weise erhält man 
W = 1 + * cos cp -x 2 cos 2 cp -f- x 3 cos 3cp -f x" cos ncp in inf 
1 — x cos cp 
1 + x % — 2x cos cp 
Immensurabel, unmefsbar wegen der selbst die der uns zunächst befindlichen 
Gröfse des Raumes. Die Entfernungen nur geschätzt werden kann. Immensu- 
der Fixsterne von uns sindsogrof9, aafs rabel oder unmefsbar ist aber nicht un-