Innere Glieder einer Proportion. 291 
Integral. 
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Innere Glieder einer Proportion, s. u. 
„äufsere Glieder“. 
Innere Winkel, s. u. „ä ui sere Win 
kel“. 
Instrument, Werkzeug- und Appa 
rat sind Geräthe, mit deren Hülfe durch 
die leitende Hand des Arbeiters nützliche 
Gegenstände hervorgebracht werden. In 
strument und Werkzeug unterschei 
den sich von Apparat, dafs jene bei 
den einfache Geräthe sind, die mit den 
Händen erfafst und geeignet geleitet, 
gehandhabt werden, also Handhaben ; wäh 
rend der Apparat ein aus mehreren ein 
zelnen Theilen zusammengesetztes stand 
fähiges Werk, ein Bauwerk ist und wel 
ches zur Maschine wird, wenn dessen 
Theile durch äufsere auf sie einwirkende 
Kräfte ihre Lage gegen einander mittelst 
Construction planmäfsig ändern. Werk 
zeug und Instrument unterscheiden 
sich, dafs jenes ein Geräth des Hand 
werks, dieses ein Geräth der Kunst ist. 
Brechstange, Maurerkelle, Zimmeraxt, 
Schmiedezange sind Werkzeuge; Model- 
lirstifte, Lanzetten sind Instrumente, 
Dampfkessel, Destillirblasen sind Appa 
rate; Krahne, Pumpen, Bohr- und Schnei 
dewerke sind Maschinen. 
Apparate, deren Handhabung eine be 
sondere Kunstfertigkeit erfordert, heifsen 
Instrumente. Ein Leierkasten ist ein 
musikalischer Apparat, Klavier und Or 
gel sind musikalische Instrumente. Die 
Atwoodsche Maschine, die sogenannte 
Electrisirmaschine sind physikalische Ap 
parate; Barometer, Thermometer, Aräo 
meter sind physikalische Instrumente. 
Eine Taschenuhr ist ein Zeitmefsinstru- 
ment, welches aus zweien in einander 
wirkenden Maschinen besteht. Theodolit, 
Boussole, Niveau und alle die Mefsvor- 
richtungen, welche des Stativs oder über 
haupt der nothwendigen festen Aufstel 
lung wegen Apparate heifsen sollten, 
heifsen eben so wie Kette und Stäbe 
Mefsinstrumente. 
Integral. 1. Allgemeines. 
Integral einer gegebenen Function 
ist diejenige Function, von welcher die 
gegebene das Differenzial ist. 
Jede Function, die zur Auffindung ihres 
Integrals gegeben ist, mufs demnach als 
ein Differenzial betrachtet werden; also 
als eine Gröfse, die von einer Function 
durch eine mit dieser geschehene Aen- 
derung abgeleitet worden ist, und es ist 
die Aufgabe gestellt, aus der abgeänder 
ten Function die ursprüngliche Func 
tion, die primitive Function, die 
Stammfunction in ihrem ungeändert 
befindlich gewesenen Zustand, aufzufin 
den, die gegebene geänderte Function in 
integrum herzustellen, das Integral 
zu finden. 
Yon einer gegebenen Function das In 
tegral finden heifst die Function in 
te gri re n. 
Wie die Forderung des Differenzirens 
ausgedrückt wird durch so wird die 
Forderung des Integrirens ausgedrückt 
durch ffx • 8® 
Jenes 8 ist ein etwas abgeändertes 
lateinisches d (Differenzial), dieses ein 
etwas abgeändertes lateinisches langes s 
(Summe), wofür früher ein / gesetzt 
wurde. 
Wenn - = fx 
so ist ffx • 8a; = cpx 
In den Forderungen 
fcpx • 8a; 
fcpy ' fx-dx 
Bedeutet dx, dafs die gegebenen Dif 
ferenziale cpx, qy'fx aus den Stamm 
functionen in Beziehung auf die Urver- 
änderliche x abgeleitet worden sind. 
Das Integral fcpx • 8y 
heifst, dafs das Differenzial cpx auf die 
Urveränderliche y genommen worden und 
dafs x eine von y abhängige veränder 
liche Gröfse ist. 
Jn der Coordinatengleichung für die 
Hyperbel pag. 262, No. 3, Gl. 14. 
V 2 = ¿2 ( 2ax + **) 
ist die Differenzialgleichung 
(fl 
y 8*/ = -k (a + x) 8a: 
a* 
hieraus 
8 y _ c 2 a -f x 
8a; a % y 
Es ist also in dem rechts befindlichen 
Ausdruck das Differenzial von y in Be 
ziehung auf die Urveränderliche x gege 
ben; soll nun dasselbe integrirt werden, 
so ist die Forderung zu schreiben: 
/ e 2 a-\-x 
a 2 ' y 
8a; 
und man erhält das Integral y durch die 
Urveränderliche x ausgedrückt. 
Entwickelt man dagegen aus obiger 
Coordinatengleichung das Differenzial 
8a; _ a a y 
. dy c 2 a + x