Integral. 
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Integral. 
8y _ 8s Die Gleichheit dieser Functionen be- 
bx~ dx steht bei jedem Werth von x, also auch 
Da nun gleiche Functionen nur gleiche für x = 0. Demnach ist 
Differenziale haben können, so ist auch 
9 hj _ 9 2 s 
9a; 2 9a; 2 
und aus demselben Grunde 
9 3 y _ 9 3 * 
8a; 3 8a: 3 
8 *y _ 8 4 s 
9a; 4 9a; 4 
(r) =(r) 
\ÖX/ q \ÖX/ q 
/9 a y\ _ /9 2 A 
\9a; 2 / 0 \9a; 2 / 0 
Nun ist nach Bd. II., pag. 289 die Mac 
Laurinsche Reihe 
+ 63.+ö.+S5). 
+.... 
+... 
Zieht man nun eine Reihe von der an 
deren ab, so fallen sämmtliche unterein 
ander stehende Glieder von den ersten 
Differenzialen ab gegen einander fort und 
es bleibt 
y-z = cpx-fx = y 0 -z 0 
Da aber in den Functionen y 0 und z 0 
die Veränderliche x = 0 gesetzt ist, so 
sind y 0 und z 0 constant, der Unterschied 
zwischen y und z — y — z besteht also in 
einer constanten Gröfse. D. h. 
Wenn zwei von einander ver 
schiedene F unctionen gleiche Dif 
ferenziale haben, so kann deren 
Verschiedenheit nur darin beste 
hen, dafs der Unterschied beider 
Functionen eine constante Gröfse 
ist. Und gegenseitig: 
Die Integrale einer und dersel- 
benFunction können nur umeine 
constante Gröfse von einander 
verschieden sein. 
Um an diese möglicher Weise noch 
hinzuzufügende Constante sich zu erin 
nern, schreibt man in jedem besonderen 
Fall fcp’x = cpx -f C anstatt fcp'x=cpx; 
die Ermittelung des Werths der Con 
stante (C) geschieht der jedesmaligen Na 
tur der Aufgabe entsprechend. 
Beispiel: 
Fcp = tg (« +;<p) 
sin cp 
und 
fcp = 
Nun ist 
9 Fcp 
cos (a -j- cp) • cos a 
= 9 tg (ce -j- cp) = sec 2 (a -f cp) 
9 f(P _ 
sin cp _ cos («+ cp)' cos cp + sin (a + cp) • sin cp 
cos a • cos (a + cp) cos n • cos 2 (a -f- cp) 
cos a 
cos a • cos 2 (u + cp) 
sec 2 (« -j- cp) 
Beide Functionen Fcp und fcp haben Zur Untersuchung ist diese Differenz 
einerlei Differenzial. unter einerlei Nenner zu bringen und zu 
Es mufs demnach schreiben 
si n (p sin (« 4- cp) • cos u — sin cp 
9 (. +79 C0J K . cos qp) cos a • cos (« + cp) 
constant sein. Der Zähler umgeformt gibt 
sin « • COS ß • cos cp + cos 2 ß • sin cp — sin cp 
= sin Ci (cos ß • cos cp — sin ß • sin cp) = sin ß • COS (ß + cp) 
Der Unterschied Fcp —fcp ist demnach wenn man von zwei oder mehre- 
sin a • cos (a + cp) _ t renlntegralen.dieauseinerFunc- 
COS Cl • COS (ß -f- cp) 
= tg « 
tion entwickelt werden können, 
4. Es ist demnach erwiesen, dafs. das eine Integral von einem der