Irrational. 
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Irrational. 
Fällen = (JVp) 2 . Mithin in jedem einzel 
nen Fall eine Apotome derselben Ord 
nung. 
II. Ist gegeben die erste Medialapotome 
4 ^ 
also von der Form A j/mn — A ]/— und 
n einer Linie C-D, so ist C n Aymn 
4 3 
und D n A l/—. Nun erweist Euklid 
V m 
durch Proportionen, dals C die Form ha- 
4 
ben mufs E }' mn und D die Form 
F|/—, woraus hervorgeht, dafs C + D 
die erste Medialapotome ist. 
III. Dieselbe Form und derselbe Gang 
des Beweises findet für alle übrigen da 
hin gehörigen Rationallinien statt. 
63. Wird von einem Rationalen 
(AR) ein Mediales (RAyn) wegge- 
nommmen, so wird die den Rest 
RA(l — yn) potenzirende eine der 
beiden Irrationallinien, entweder 
die Apotome oder die kleinere Ir 
rationale (Satz 109) 
Es ist A r\ R, Ayn ir A, mithin ist nach 
No. 40 A — Ayn eine Apotome, an welche 
Ayn sich anfügt. Nun ist A rational, 
also nach No. 48 die Linie A — Ayn ent 
weder die erste oder die 4te Apotome. 
Ist sie die erste Apotome, so ist A 2 — A 2 n 
= E 2 , indem Eni ist. Ist sie die vierte 
Apotome, so ist A 2 — A 2 n = E 2 n indem 
E\'n u A werden mufs. 
Im ersten Fall, wenn also A — Ayn 
die erste Apotome ist, hat man nach No. 
55 |/ß (A — Ayn) — einer Apotome. 
Im zweiten Fall, wenn also A = Ayn 
die vierte Apotome ist, hat man nach 
No. 58 yR(A — Ayn) = einer kleineren 
Irrationale. 
64. Wird von einem Medialen 
(ARyn) ein Rationales AR wegge 
nommen, so entstehen zwei an- 
derelrrationallinien,entweder die 
erste Medialapotome oder die mit 
einem Rationalen ein Mediales 
Ganze Gebende (Satz 110). 
Es ist die Differenz beider Rectangel 
RA in — RA — R(A\n — A). Demnach 
ist Ayn u A und nach No. 40 Ayn - A 
eine Apotome, an die A sich fügt. Und 
da die angefügte A rational ist, so ist 
nach No. 48 die Linie entweder eine 
zweite oder eine fünfte Apotome. 
Ist A 2 n — A 2 — E 2 n, indem Eynn Ayn, 
so ist sie die zweite Apotome und man 
hat nach No. 56 ]/R (Ayn - A) = einer 
ersten Medialapotome. 
Ist A 2 n - A 2 = E 2 , indem E u Ayn so 
ist nach No. 59 ]/ä (Ayn — Ä) = einer 
mit einem Rationalen ein media 
les Ganze Gebende. 
65. Wird von einem Medialen 
RA]/n ein demselben incommen- 
surabeles Mediales RA ym wegge 
nommen, so entstehen diebeiden 
übrigen Irrationallinien, entwe 
der die zweite Medialapotome oder 
die mit einem Medialen ein me 
diales Ganze Gebende (Satz 111). 
Es ist die Differenz beider Rectangel 
RAyn — RA ym, mithin A \’n — Aym 
nach No. 48 entweder die dritte oder 
die sechste Apotome. Ist A 2 n — A 2 m 
= E 2 n, indem Eyn r\ Ayn, so ist sie die 
dritte Apotome und man hat nach No. 
57 ]/R(Ayn— A \'m) = einer zweiten 
Medialapotome. Ist A?n — A 2 m—E 2 p, 
indem E\'p u Ayn so ist Ayn — Aym die 
sechste Apotome und man hat nach No. 
60: yR (Ayn — Aym) — einer mit einem 
Medialen ein mediales Ganze Ge 
bend e. 
66. Die Apotome ist von der Bi- 
nomiale unterschieden (Satz 112). 
Der Beweis im Euklid ist sehr weit 
läufig und soll hier zusammengezogen 
werden. (Die in solcher Klammer [ ] ste 
henden beiden Buchstaben sind die Linien 
in Euklids Figur). 
Es sei die Linie L [AB] eine Apo 
tome A — Ayn (1) 
Ist R[CD] eine Rationallinie, und ist 
R • C [CD x DE] = (A — A \'n) 2 (2) 
so ist nach No. 61 die Linie C[DE] die 
i /n 2 — m 2 
erste Apotome B — B y —— (3) 
i /n 2 — m 2 
und es ist B n B y —^— (4) 
Wäre nun zugleich L [AB] eine Bi- 
nomiale D + Dym oder für den gün 
stigsten Fall der Uebereinstimmung 
= D + 1) yn (5) 
Dann ist RC [CD xDE] = (ü + D yn) 2 
und nach No. 31 ist C[DE] die erste 
1 — W? ^ 
Binomiale E + E y—^— (6) 
und EnE 1/—^ (7) 
r n 2 
Es ist also nach Gleichung 3 und 6 
C[DE] = B-B]/—J-