m eines Planeten. 
Elemente der Bahn eines Planeten. 37 Elimination. 
gleich 0 sein kann, 
das Maats der rück- 
einer materiellen 
h. das Maximum 
Linie vermöge ihrer 
aung entgegensetzt, 
widersteht die Linie 
liven Festigkeit. 
3 einfachen Theile 
r Natur sind es be- 
ätoffe, mit denen es 
ist, sie in mehrere 
r und von dem Gan- 
ne Stoffe chemisch 
Sauerstoff, der Stick 
sind Elemente zu- 
n Grundlehren einer 
¡mente der Arithme- 
der Differenzialrech- 
versteht aber auch 
einzelnen Begriffe, 
ehrgebäude mit ein 
in der Arithmetik: 
end eingeführten Be- 
¡n Vermehrung (Ad- 
derung (Subtraction), 
leich vielfache Ver- 
inderung (Multiplica- 
as Potenziren, Radi 
en, lteihenbildnngen 
unetrie: die Begriffe 
ader und krummer 
i ebenen und krum- 
rerschiedenen Lagen 
md Ebenen: normal, 
w. 
ihn eines Planeten, 
rns sind diejenigen 
durch welche man 
5 Dimensionen ihrer 
n im Stande ist; so 
r Kenntnifs der Form 
3n einer ebenen ge- 
er ganz bestimmten 
nungsstücken bedarf, 
Elemente der Figur 
leten bewegen sich in 
var in einer Ellipse, 
ne einer der beiden 
ie Beobachtung dieser 
der Erde aus, also 
innerhalb der Ekliptik, derjenigen Ebene, 
in welcher die Erde um die in einem 
Brennpunkt befindliche Sonne sich be 
wegt, so dafs die Sonne ein gemein 
schaftlicher Brennpunkt beider Bahnen 
oder vielmehr aller Planeten- und Ko 
metenbahnen ist. 
Das lte Element der Bahn eines an 
deren Planeten ist also die in dem vor 
handenen Ebenenwinkel gegebene Lage 
dessen Bahn gegen unsre Ekliptik (die 
Neigung der Bahn). Das 2te Ele 
ment bildet die beiden Orte des aufstei 
genden und absteigenden Knotens, der 
Punkte in welchen jene Bahn unsere 
Ekliptik dnrchschneidet und deren gerad 
linige Verbindung die gemeinschaftliche 
Durchschnittslinie (die Knotenlinie) 
beider Bahnen bildet. 
Die Form und Gröfse der Planeten 
bahn sind gegeben, wenn man die grofse 
und die kleine Axe deren Ellipse kennt; 
aber auch deren Lage mufs noch be 
kannt sein. Man findet diese aus der 
Beobachtung des Perihels, dem Ort des 
Planeten in seiner (gröfsten) Sonnennähe, 
indem die gerade Verbindungslinie zwi 
schen Perihel und Sonne und deren Ver 
längerung die grofse Axe der Ellipse an- 
giebt. Die (gröfste) Sonnenferne, das 
Aphel ist bei den der Sonne entfernte 
ren Planeten und den Kometen nicht zu 
beobachten. Daher mufs die Länge der 
grofsen Axe, die der kleinen Axe oder 
die Gröfse der Excentricität (Entfernung 
zwischen Sonne und Mittelpunkt der 
Ellipse) durch Beobachtungen des Ge 
stirns an verschiedenen Orten und der 
Zeitpunkte für die Einnahme dieser Orte 
in Beziehung auf den Ort des Perihels 
und die Zeit des Eintritts in dasselbe 
berechnet werden. 
Elevationswinkel, s. u. Depressions 
winkel. 
Elimination ist für die Auflösung der 
Gleichungen das Verfahren, 2 oder meh 
rere Gleichungen mit eben so vielen un 
bekannten Gröfsen dergestalt zu verbin 
den, dafs eine der unbekannten ausge 
schieden wird. 
Aus n Gleichungen mit n Unbekannten 
erhält man zunächst n — 1 Gleichungen 
mit (n — 1) Unbekannten. Behandelt man 
diese wie die ersten n Gleichungen, so 
erhält man (n — 2) Gleichungen mit (n —2) 
Unbekannten u. s. f. bis man nur eine 
Gleichung mit nur einer Unbekannten 
erhält, die man entwickelt. 
Man erhält eine zweite Unbekannte 
wenn man den erhaltenen Werth der 
letzten Unbekannten in eine der vorher 
erhaltenen 2 Gleichungen mit 2 Unbe 
kannten setzt und entwickelt; u. s. f., 
eine 3te und nach und nach alle n Un 
bekannten entwickelt. 
2. Es sei gegeben: 
1. ax -\- by — A 
2. ax + ßy — B 
Um y zu eliminiren multiplicire Gl. 1 
mit ß, Gl. 2 mit b, und ziehe die eine 
von der anderen ab. Man erhält 
aßx -f bßy — ßA 
b«x -f bßy = bß 
(ba — aß)x = bß — ßA 
bß- ¿Li 
woraus x = — 
ba — aß 
Setzt man diesen Werth von x in Gl. 1 
(oder 2) so erhält man 
bß — ßA 
a • A o + b , J = A 
ba — aß 
hiernach 
b(ba — aß)y = (bu — aß) A — ab ß-\- aß A 
aA — aß 
woraus y = — 
J ba-aß 
Man kann aber auch dasselbe Elimi 
nationsverfahren wie für x, auch für y 
anwenden, nämlich Gl. 1 mit « und Gl. 2 
mit a multipliciren und abziehen. 
3. Ist gegeben 1. ax -f by — A 
ax — ßy — ß 
so multiplicirt man wie vorher und ad- 
dirt die Gleichungen um y zu elimi 
niren. 
\r n-u ßA + bß 
aß + bß 
aA-aß 
ba -p aß 
4. Sind 3 Gleichungen gegeben 
ax -f by -f cz, — A 
a'x -j- b'y -f c’z — ß 
a”x -p b"y c”z — C 
so multiplicirt man, um s zu eliminiren, 
die erste Gleichung mit c’c", die zweite 
mit cc", die dritte mit cc\ Man erhält 
ac’c”x + bc’c"y + cc’c"z = c’c"A 
a’cc"x -p b'cc”y -p c'cc’'z> — cc”ß 
a”cc'x -p b''cc’y + c"cc\ = cc'C 
Nun die erste Gleichung von der zwei 
ten und der dritten abgezogen (oder die 
zweite von der ersten und der dritten 
oder die dritte von der ersten und der 
zweiten) gibt