Ellipse. 
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Ellipse. 
so gibt der Punkt F von A bis D belie 
big viele Ellipsenpunkte an. 
16. Wie die beiden Axen AB, DE sich 
gegenseitig halbiren, so geschieht dies 
auch von jeden 2 anderen durch den 
Mittelpunkt C gezogenen Sehnen, wenn 
dieselben eine bestimmte Lage zu ein 
ander haben. Wie z. B. DJ und FG, 
indem DJ alle mit FG parallelen Seh 
nen und FG alle mit DJ parallelen 
nen sich denkt und bis an den Endpunkt 
D verfolgt, so müssen sie natürlicher 
Weise bei H in die Tangente übergehen, 
deshalb ist klar, dafs diese Sehnen der 
Tangente TT' des Endpunkts D sein 
müssen; und es ist dies auch zu be 
weisen. 
Nämlich aus Gl. No. 19: 
^ = ¿8 (« 2 -« 2 ) 
Fi ff. 612. 
Sehnen halbirt. Wenn man alle diese 
mit einander und mit FG parallelen Seh 
folgt durch Umformung 
a 2 c 2 =: c 2 n 2 -f a 2 \ß 
Ist nun L der betreffende Ellip 
senpunkt, so ist CN = w, LN — y 
und 
« 2 c 2 = c 2 • CA' 2 -(- a 2 • LA’ 2 
Fällt man nun die Lothe OP auf 
AB und OQ auf LN, 
so ist CN = PN — CP 
und LN = OP + LQ 
Nimmt man nun in der Abscissen- 
linie CD die Abscisse CO-x, die 
Ordinate OL = y, den Z ACH = </, 
Z BCF= xp, 
so ist 
PN — CP= y cos xp — x cos (f 
*OP-p LQ -- x sin (f< + y sin xp 
folglich hat man 
a 2 c 2 = c 2 (y cos xft — x cos (p) 2 -j- a 2 (x sin (p -f- y sin xp) 2 
= c 2 [iß cos 2 xp — 2xy cos xp • cos (p -f X 2 COS 2 </)] 
+ a 2 [x 2 sin 2 </> + 2xy sin (f> • sin xp-\- y 2 sin 2 ip] (41) 
Nun soll die Sehne KL durch CH hal 
birt werden, also soll OK = OL sein, d. h. 
es sollen für x zwei gleiche und entge 
gengesetzte y entstehen. Dies ist aber 
nur möglich wenn die Glieder mit dem 
Factor y in Summa = 0 werden. Die 
Bedingung gleicher entgegengesetzter Or 
dinateli ist also: 
— 2c 2 xy cos r/ • cos xpA^a 2 xysitup'sin xp = 0 
woraus ~j = tg <f - tg xp (42) 
(l 
Für den Ellipsenpunkt // ist CB = w, 
HR = y 
-r . . . hk y 
Nun ist tg w = tg ACH = „ - = — 
t /l 14 
14 
daher tq xp = ~— • — 
« 2 y 
Nun ist aber nach Formel 20 
folglich ist ZHTC = Z.BCF 
und FG + TT 
Die beiden obigen Glieder = 0 gesetzt 
wird die erste Gleichung 
woraus 
a 2 c 2 = c 2 (i/ 2 cos 2 xp + x 2 cos 2 xp) -f a 2 (x 2 sin 2 (f -J- y 2 sin t/i) 
_ i /a 2 c 2 — x 2 (c 2 cos 2 xp + a 2 sin 2 g ) 
c 2 cos 2 xp + a 2 sin 2 tp 
(43) 
(44) 
Die beiden durch den Mittelpunkt ge 
zogenen Sehnen FG und HJ sind also 
Durchmesser und heifsen zusammen 
gehörige, conjugirte Durchmesser. 
17. Aus Formel 41 hat man 
’• — x 2 cos 2 7. -f- sin 2 (f^ 
—= COS 2 tp -p S»n 2 (2/ 
a 2