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Evolute. 
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Evolute. 
3. Ob nun in allen Fällen einer ad 2 
gedachten nothwendigen Abänderung der 
Curve der Mittelpunkte um sie zur Evo 
lute für unmittelbare Abwälzung zu ge 
stalten, auch wirklich eine solche Evo 
lute entsteht, verlangt eine allgemeine 
Untersuchung und diese erstreckt sich 
daher nur auf 2 Punkte. 1, Ob alle 
Krümmungshalbmesser auch Tangenten 
an der Evolute sind und 2, ob ein Bo 
genstück der Evolute mit der Differenz 
beider zu den Endpunkten des Bogen 
stücks gehörenden Krümmungshalbmesser 
gleich lang ist. 
4. Erster Satz: Sämmtliche Krüm 
mungshalbmesser einer Curve sind an 
der Evolute Tangenten. 
Denn die beiden Formeln für die Ab- 
scisse a und die Ordinate b eines Krüm 
mungsmittelpunkts durch x und y aus 
gedrückt sind (Bd. II., pag. 188, II., III.) 
II. a — x . 
1 + 
III. b = у + 
(dj/Y 
\Ъх/ 
(® г у\ 
V Эж 2 / 
Setzt man für den zweiten Summand 
rechts, No. III. den Werth ¿ — ¡¡/in II., 
so hat man 
oder (y 
und aus III 
b)~+x~a = 0 
ox 
(1) 
In diesen Gleichungen ist für jeden 
Punkt der Evolute a die Abscisse, b die 
rechtwinklige Ordinate, beide von dem 
jedesmaligen x und y abhängig. Nimmt 
man x als urvariabel, differenzirt also 
Gleichung 1. nach x so erhält man 
V8* - 8J +1 ~ 
oder 
8a: 
, ,.Ь 2 У (дуу By 
(У~ Ь) дх* + 1 + \Ъх) ~8i 
8a 
Bx 
Nach Gleichung 2 sind die ersten 
3 Glieder dieser letzten Gleichung = 0, 
folglich ist 
d J . ^ - o (3) 
Bx Bx + Bx “ ° 
Nun ist (Differenzialformel 140) 
8 b Bb Ba 
8a: 0a 8a: 
folglich diesen Werth in Gleichung 3 
^ fl 
substituirt und mit dividirt 
ox 
9 J.L 6 +1= o 
8a: 8a ‘ 1 
Bb -1 
Fig. 616. 
hieraus 
8a 
(4) 
Es sei nun CL die Abscissenlinie für 
die gegebene Curve AEB, für den Cur- 
venpunkt E sei CD = x, I)E = y, so ist 
8a: 
= tg ETL = tg et, wenn ET die Tan- 
gente in E an AEB ist. Ist GEH die 
Evolute zu AEB, EF der Krümmungs 
halbmesser zu E, so ist CM = a, FM = b. 
Nun liegt aber dieser Halbmesser EF in 
der Normale zu E, mithin ist Z TEF 
= 90°; verlängert man also EF bis CL 
nach K, 
so ist Z EKT — 90° — « 
oder 
tg « = — cot (180° — EKT) = — cot (Z EKL) = 
- 1 
und 
tg EKT = cot « = 
also 
n Bb 
Da nun 5— 
8a 
FK die Tanger 
ist, so ist mit 
8 
bewiesen, dafs 
Tangente ist. 
5. Zweiter 
Differenzir 
oder reducirt 
8r 
Die zweite 
Summand wir 
mithin reducirl 
= ~(y 
Bx 
Nach Gleicht 
daher 
8 r 
8a: 
fo 
und folglich in 
• (г/ - 
8a: 
Setzt man 
(x — а) aus Gl 
Br 
Bx 
= -(r 
woraus у — b 
Aus Gl. 5 is 
У — b = 
daher aus den