Ebene. 
2 
Ebene. 
und hieraus ZAGG = zFGG 
die als Nebenwinkel zusammen = 2 rech 
ten Winkeln sind, und also ZACG=RZ> 
Da nun CG eine ganz beliebig gewählte 
Linie ist, so bildet auch AC mit jeder 
durch C in der E gezogenen geraden L. 
einen rechten Winkel. 
3. 3 beliebig im Raum gegebene Punkte 
bestimmen die Lage einer Ebene und 
durch solche 3 Punkte ist nur eine E. 
und nicht noch eine zweite möglich. *• 
Denn sind die 3 Punkte B, C, D ge 
geben und man verbindet dieselben durch 
gerade Linien, so mufs die gerade Linie 
BD mit den Punkten B und D in der 
selben Ebene liegen; desgleichen die Linie 
CD mit den Punkten C und D und die 
Linie BC mit den Punkten B und C in 
einerlei Ebene. Wollte man nun anneh 
men, dafs die 3 Punkte B, C, D nicht 
nur in der Ebene BCD sondern noch in 
einer zweiten Ebene lägen, so existirt 
ein aufserhalb BCD liegender Punkt, z. B. 
A in der 2ten Ebene, und da diese zweite 
Ebene die erste in CD, in BC und zu 
gleich in BD schneiden müfste, so wür 
den die drei Dreiecke ACD, ABC und 
ABD in dieser zweiten E. zugleich sich 
befinden müssen; jedes dieser Dreiecke 
schliefst aber einen der gegebenen Punkte 
als aufserhalb liegend von der zweiten 
Ebene aus. Es folgt hieraus: 
Die Schenkel eines geradlinigen Win 
kels liegen nur in einer Ebene. Zwei 
sich schneidende gerade Linien, zwei mit 
einander parallel laufende Linien liegen 
nur in einer E. 
Zwei Ebenen schneiden sich in einer 
geraden Linie, denn schnitten sie sich 
in noch einem aufserhalb der graden L. 
liegenden Punkt, so würde dieser mit 
noch zweien beliebigen Punkten der ge 
raden Linie zusammen 3 Punkte aus 
machen, zwischen welche nicht zwei Ebe 
nen zu legen sind. 
4. Wenn von zweien sich schneidenden 
Linien die eine lothrecht auf einer Ebene 
ist, so ist die andere nicht lothrecht auf 
derselben E. 
Denn legt man durch die beiden sich 
schneidenden Linien eine E., so mufs 
diese die erstere E. schneiden. Es sei 
AC auf der E. in C lothrecht, AB die 
zweite, die AC in A schneidende gerade 
L., und CB die Durchschnittslinie zwi 
schen beiden Ebenen CDB und ACB, so 
ist Z.ACB ein rechter Z in dem /\ACB, 
folglich mufs Z.ABC spitz und AB kann 
kein Loth auf E sein. 
Hieraus folgt, dafs in einem Punkt 
einer E. immer nur ein Loth errichtet 
und von einem Punkt aufserhalb einer 
E. auf dieselbe nur ein Loth gefällt wer 
den kann. 
5. Sind auf einer geraden Linie in 
einem ihrer Punkte mehrere winkelrechte 
Linien errichtet, so liegen diese alle in 
einer E. Denn es seien auf der geraden 
Linie AC in C die Lothe CD, CB, CH 
errichtet, und man legt durch CD und 
CB eine E , so ist AC ein Loth auf die 
ser E., weil die beiden Z-ÄCD und ACB 
rechte sind. Gesetzt nun CH läge nicht 
in derselben E., und man legt durch ACH 
eine E., welche die erstere E. in CJ schnei 
det, so ist nach No 2, Z.ACJ ein rechter; 
da aber auch ACH ein rechter z ist, so 
müssen CJ und CH zusammenfallen. 
6. Die von einem Punkt A auf eine 
E. gefällte lothrechte ist die kürzeste 
Verbindungslinie zwischen dem Punkt 
A und der E. Jede andere Verbindungs 
linie wird gröfser und um so gröfser je 
weiter der Standpunkt derselben von dem 
Standpunkt des Loths entfernt ist. AC 
ist die kürzeste Linie, AD ist >AC; ist 
CD < CB so ist auch AD < AB und sind 
CD und CB einander gleich so sind auch 
AD und AB einander gleich. Die loth 
rechte AC heifst der Abstand des Punkts 
A von der Ebene. 
7. Steht eine gerade Linie AC auf einer 
E. lothrecht und man fällt von irgend 
einem Punkt A der L. auf irgend eine 
in der E liegende gerade Linie BD eine 
Normale AG und verbindet diesen Punkt 
G mit dem Standpunkt C des Loths AC 
durch eine gerade Linie CG, so ist auch 
diese mit BD normal. 
Denn macht man GD = GB, legt durch 
die Dreiecke ABD, ACD, ACB und ACG 
Ebenen, so ist 
DG = BG 
ZAGD = Z.AGB = R 
AG = AG 
folglich 
AAGD2SAAGB 
AD = AB 
hierzu 
AC = AC 
und 
Z.ACD = ACB — R 
folglich 
aacd^aacb 
CD = CB 
hierzu 
CG —'CG 
und 
DG = RG 
folglich 
&CDG?§&CBG 
Z CGD = z CGB - R 
Eben so wird bewiesen, dafs wenn die 
Linie CG auf die beliebige in der E. be 
findliche gerade Linie BD normal ist, 
die von irgend einem Punkt A des Loths 
CA nach G gezogene gerade Linie AG 
auf BD normal ist. 
8. 2 gerade Linien, die auf einer E. senk 
recht stehen, sind mit einander parallel. 
Denn sind 
der E. und ] 
punkte C ue 
E. auf CG d: 
AG so ist ai 
nun auch Gl 
gen die 3 gt 
GK in einer 
derselben Z- 
ist ACJ^KG. 
Eben so wi 
von 2 parall 
recht auf eie 
dere auf ders< 
9. Hieraus 
Linien im Ra 
wenn jede 
dritten 4= is 
Ferner, * 
Raum einan 
ihre Schenke 
selben Seite 
ihrer Scheit* 
parallel lauf 
10. Werde 
ten einer aul 
den geraden 
gefällt, so 
punkte mit 
schrägen i 
Linie; denn 
der schräger 
sich AC und 
da sie mit < 
und L gerne 
welcher AB 
die Linien . 
gemeinschaf 
die erste E 
und in dies* 
punkte jene 
Die gerad* 
punkte säm 
auf einer E, 
gen, heifst * 
L. auf der 
11. Der 1 
mit ihrer 
macht, ist < 
Winkeln, v 
deren gerad 
der E. gezo 
Denn ist 
gen AG, A 
man zieht 
GB, macht 
ist AB > A 
Nun ist i 
und AGB 
und 
folglich