Kreis. 
93 
Kreis. 
¿BAG = ¿EDF, so ziehe BG, EF, so 
ist ABCGs^AEHF, folglich BG=EF, 
und da ¿A = ¿D, so ist auch nach Satz 
22, ¿K = ¿L, also die Abschnitte BKG 
Fig. 779. 
und ELF ähnlich (Erkl. 11), und wegen 
BG - EF auch Abschnitt BKG — Abschnitt 
ELF. (Euklid spricht im Lehrsatz nur 
von gleichen Bogen, beweist aber auch 
gleiche Sehnen, Auschnitte und Ab 
schnitte.) 
Lehrsatz 27. In gleichen Kreisen 
sind die auf gleichen Bogen BG, EF ste 
henden Winkel am Mittelpunkt BCG und 
EHF sowohl, als am Umkreise BAG, 
EDF einander gleich. 
Wäre ¿ BCG > ¿ EHF, so sei ¿ BCM 
^¿EHF. Dann wäre nach dem vorigen 
Satz Bogen BlYl = Bogen EF-, es ist aber 
angenommen Bogen BG = Bogen EF, also 
wäre Bogen BM = Bogen BG, welches 
unmöglich ist. Demnach ist ¿BCG = 
¿EHF und mit diesen nach Satz 20, 
¿BAG = ¿EDF. 
Lehrsatz 28. In gleichen Kreisen 
schneiden gleiche gerade Linien BG, EF 
gleiche Bogen ab, so dafs die gröfseren 
Bogen BAG, EDF wie auch die kleine 
ren BKG, ELF einander gleich sind. 
Denn da die Halbmesser einander gleich 
sind, so ist Д CBG ö&HEF also ¿BCG 
— ¿EHF, folglich (nach Satz 26) die grö 
fseren und die kleineren Bogen einander 
gleich. 
Lehrsatz 29. In gleichen Kreisen 
sind die geraden Linien BG, EF, welche 
die Endpunkte gleicher Bogen mit ein 
ander verbinden, einander gleich. 
Die Halbmesser beider Kreise sind ein 
ander gleich, die Bogen gleich, folglich 
(Satz 27) auch ¿BCG = ¿EHF, folglich 
in den congruenten Dreiecken BCG, EHF 
BG = EF. 
Lehrsatz 31. Der Winkel im Halb 
kreise ist ein rechter; aber der Winkel 
im gröfseren Kreisabschnitt ist kleiner 
und der im kleineren gröfser als ein rech 
ter (heifst jetzt Umfangswinkel auf einem 
kleineren, auf einem gröfseren Bogen). 
Hingegen ist der Winkel des gröfseren 
Kreisabschnitts gröfser und des kleineren 
kleiner als ein rechter (beide letzten Win 
kel sind die gemischtlinigen Winkel (s. 
1. Erkl. 7 und Lehrsatz 16, ad 3). 
ad 1. Fig. 777. Es ist AEB der Win 
kel im Halbkreise. (Euklids Beweis ist 
etwas weitläufig). Nun ist (nach Lehr 
satz 20) 
¿AEC = ^ACE 
¿BEC = ^¿BCE 
daher ¿AEB = ^(¿ACE + ¿BCE) 
= £ • 2 Rechten = R,/\ 
ad 2. Es ist ¿_ DEB der Winkel im 
gröfseren Abschnitt DGAFEB oder der 
auf dem kleineren Bogen BD stehende 
Umfangswinkel und augenscheinlich < 
(AEB = R). 
ad. 3. Es ist ¿_ DBE der Winkel im 
kleineren Abschnitt DBE oder der auf 
dem gröfseren Bogen DGAFE. Mithin 
ist nach 2 des Satzes ¿DAE<R- aber 
nach Lehrsatz 22 ist ¿DAE + ¿DBE 
= 2R, mithin ¿DBE > R. 
ad 4. Dafs der gemischtlinige Winkel 
ED (GAFE) > R und der ED (BE) < R, 
wird augenscheinlich, wenn man durch 
D eine Normale auf DE errichtet. 
Lehrsatz 32. Wird ein Kreis, Fig. 
780, von einer geraden Linie EF berührt 
und von einer anderen aus dem Berüh 
rungspunkt B gezogenen BD geschnitten, 
Fig. 780. 
so sind die Winkel DBF, DBE, welche 
die schneidende Linie mit der berühren 
den macht, den Winkeln in den Neben 
abschnitten des Kreises gleich. 
Denn ad 1. In dem auf EF in B er 
richteten Perpendikel BA liegt der Mit 
telpunkt des Kreises, also ist ¿ BDA