Kreis. 
95 
Kreis. 
33ter Lehrsatz im 6te« Buch aufgeführt 
ist. 
Nämlich: „In gleichen Kreisen verhal 
ten sich sowohl die Winkel am Mittel 
punkt als auch die Winkel am Umkreise, 
desgleichen die Kreisausschnitte wie die 
Kreisbogen, worauf sie stehen.“ Denn 
der Satz beruht auf dem Satz, dafs in 
gleichen Kreisen zu gleichen Winkeln 
am Mittelpunkt auch gleiche Bogen u. 
s. w. gehören. 
Man mufs aber erwägen, dafs Euklid 
die Lehre von den Verhältnissen erst im 
fünften Buch und zwar mit Hülfe von 
geraden Linien vorträgt. 
8 Die geordnete Zusammenstellung der 
Lehrsätze für die Elemente der Kreislehre 
ist nach meiner Ansicht mit Zuziehung 
guter Lehrbücher folgende: 
1. Kreise, welche gleiche Halbmesser 
also auch gleiche Durchmesser haben, 
sind gleich. 
2. Gleiche Kreise haben gleiche Halb 
messer und also auch gleiche Durch 
messer. 
3. Der Durchmesser theilt den Kreis 
in zwei congruente Theile. 
Diese drei Sätze sind durch Deckung 
zu erweisen. 
4. In einem und in gleichen Kreisen 
gehören zu gleichen Winkeln am Mittel 
punkt gleiche Bogen, gleiche Sehnen, 
gleiche Ausschnitte und gleiche Abschnitte. 
Beweis s. vorstehend Euklid Satz 26. 
5. In einem und in gleichen Kreisen 
gehören zu ungleichen Winkeln am Mit 
telpunkt ungleiche Bogen u. s. w. 
Ist mit Hülfe von Satz 4 indirect zu 
beweisen. 
6. Die acht umgekehrten Sätze von 
Satz 4 und 5 (wie Euklid Satz 27). 
7. In einem und in gleichen Kreisen 
verhalten sich die Bogen und die Aus 
schnitte (die Sehnen und die Abschnitte 
natürlich nicht) wie die zu ihnen ge 
hörenden Winkel am Mittelpunkt. 
Beweis aus Satz 4. Verhalten sich 
nämlich die Winkel wie mm, so theile 
diese Winkel durch Radien in m und in 
n gleiche Theile, dann besteht der erste 
Winkel aus m, der zweite aus n gleichen 
Winkeln, für jeden gilt Satz 4, folglich 
haben « und m gleiche Winkel n und m 
gleiche Bogen und Ausschnitte. 
Sind die Winkel (A und B) incom- 
mensurabel, so nehme den einen dersel 
ben z. B. A, rational an und theile den 
selben in n gleiche rationale Theile; der 
zweite Winkel B sei nun gröfser als 
m — 1 und kleiner als m solcher Theile 
(«), so fällt dessen zweiter Halbmesser 
zwischen den m — lten und den wtten 
Theilhalbmesser. Nun kann man n be 
liebig grofs und damit den einzelnen 
Theilwinkel « beliebig klein nehmen, und 
dadurch beide den Endhalbmesser des 
/_B einschliefsenden Halbmesser dem 
selben (d. h. /_{m — 1) « und /_ma dem 
Z_B) beliebig nahe bringen. Aber der 
zu wir* gehörende Bogen bleibt immer 
gröfser und der zu (wi — 1) « gehörende 
Bogen immer kleiner als der gegebene, 
mithin ist der gegebene Bogen als Grenz 
werth zwischen beiden der gesuchte Bo 
gen und mit diesem der zugehörige Aus 
schnitt der gesuchte Ausschnitt. 
8. In einem oder in gleichen Kreisen 
sind gleiche Sehnen gleich weit vom Mit 
telpunkt entfernt; und Sehnen, die in 
einem oder in gleichen Kreisen gleich 
weit vom Mittelpunkt entfernt sind, sind 
gleich. 
Der Satz ist mit Hülfe von Satz 4 zu 
beweisen. Siehe vorstehend Euklid Satz 
14, und den Aufsatz Chorde No. 2 mit 
Fig. 286. 
9. In einem oder in gleichen Kreisen 
ist der Mittelpunktswinkel doppelt so 
grofs als der mit ihm auf demselben Bo 
gen stehende Umfangswinkel. (Beweis 
vorstehend Euklid Satz 20.) 
Hieraus gehen unmittelbar folgende 
Sätze als richtig hervor: 
10. Alle Umfangswinkel auf demselben 
oder auf gleichen Bogen in einem Kreise, 
oder auf gleichen Bogen in gleichen Krei 
sen sind einander ¡gleich (mit Hülfe 8, 
Satz 4). 
Jeder der beiden von einer Sehne ab 
geschnittenen Bogen ist der geometrische 
Ort für Dreiecke auf einerlei Grundlinie 
mit gleichen Winkeln an der Spitze. 
11. Zu gleichen Peripheriewinkeln in 
einem und in gleichen Kreisen gehören 
gleiche Bogen und gleiche Sehnen. 
12. Der Peripheriewinkel im Halbkreise 
ist ein rechter Winkel, denn der Centri- 
winkel ist = 2 rechten. Der Halbkreis 
ist demnach der geometrische Ort für 
rechtwinklige Dreiecke auf einerlei Hy 
potenuse. (Euklid, Satz 31.) 
13. Der Peripheriewinkel, der auf einem 
Bogen steht, der kleiner ist als der Halb 
kreis, ist spitz, auf einem der gröfser ist 
als der Halbkreis stumpf. (Euklid, Satz 31.) 
14. Parallele Sehnen schneiden zwischen 
sich gleiche Bogen ab. (S. den Art. 
„ChordeNo. 4)