Kreis. 
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Kreis. 
15. Der Mittelpunkt eines Kreises liegt 
in der auf einer Chorde in der Mitte er 
richteten Normalen, und die von dem 
Mittelpunkt auf eine Chorde gefällte Nor 
male halbirt dieselbe. (Vorstehend Euklid, 
Satz 3.) 
16. Eine gerade Linie schneidet einen 
Kreis nur in zwei Punkten. Denn schnitte 
sie den Kreis in drei Punkten und man 
zieht die drei Radien, so entständen mit 
drei Schenkeln, derselben Spitze und der 
selben Höhe drei gleichschenklige Drei 
ecke. 
17. Drei in einer Ebene befindliche 
Punkte, die nicht in einer geraden Linie 
liegen, bestimmen einen Kreis. Denn 
verbindet man einen Punkt mit den bei 
den anderen Punkten durch gerade Li 
nien, so kann man diese beiden Linien 
als Sehnen eines Kreises betrachten ; des 
sen Mittelpunkt liegt nach Satz 15 in 
dem Durchschnittspunkt der in den Mit 
ten der Sehnen auf denselben errichteten 
beiden Normalen. 
18. In jedem Viereck im Kreise ist die 
Summe je zwei einander gegenüberlie 
gender Winkel = 2 rechten Winkeln, weil 
deren Centriwinkel zusammen 4 Rechte 
ausmachen. (Euklid, Satz 22.) 
19. Wenn in einem Viereck je zwei 
einander gegenüberliegende Winkel zu 
sammen gleich 2R sind, so kann man 
einen Kreis darum beschreiben. 
Denn gesetzt der Kreis (Fig. 777) ginge 
durch A, D und E aber nicht durch B, 
sondern durch einen Punkt H oberhalb 
oder unterhalb B in AB, so würde nach 
dem vorigen Satz /_A + /_H = zweien 
Rechten sein. Im ersten Fall aber wäre 
H>B und im zweiten Fall /_H < AB 
also /4 + /W entweder > oder <2R. 
Anmerk. Man kann Satz 18 auch 
folgender Art ansdrücken: 
Die beiden Umfangswinkel in jeden 
zwei Abschnitten, aus welchen ein Kreis 
besteht, sind zusammen = 2 Rechten. 
20. In einem oder in gleichen Kreisen 
liegt die gröfsere Sehne dem Mittelpunkt 
näher als die kleinere. 
21. Wenn in einem oder in gleichen 
Kreisen eine Sehne entfernter vom Mit 
telpunkt ist als eine andere, so ist die 
erstere kleiner als die letzte. 
Die Beweise, dieser beiden Sätze sind 
einfach (s. den Art. »Chorde“, No. 3, 
pag. 22 mit Fig. 286). 
22. Zwei sich schneidende Sehnen hal- 
biren einander nicht. (Euklid, Satz 4.) 
23. Schneiden sich zwei Sehnen inner 
halb des Kreises, so ist der von ihnen 
gebildete Winkel = der Summe, schnei 
den sie sich aufserhalb, = der Differenz 
der beiden Umfangswinkel, welche auf 
den zwischen den Sehnen abgeschnittenen 
Bogen stehen. 
Beweis wie im Art. „Chorde“, No. 6 
mit Fig. 287 und 288. 
24. Schneiden sich zwei Sehnen nor 
mal, und man zieht die vier Halbmesser 
nach deren Endpunkten, so ergänzen sich 
die gegenüberliegenden Umfangswinkel 
gegenseitig zu zwei Rechten. 
Beweis im Art. „Chorde“, No. 7 mit 
Fig. 289. 
25. Die auf einem Durchmesser in je 
dem Endpunkt errichtete Normale hat 
nur diesen einen Punkt mit dem Kreis 
umfang gemein, liegt mit allen übrigen 
Punkten aufserhalb des Kreises und ist 
somit eine Tangente an dem Kreis. 
(Euklid, Satz 16 ) 
Denn ist (Fig. 771) EG normal auf BE 
und man zieht aus dem Mittelpunkt C 
nach einem anderen dem Berührungs 
punkt E noch so nahe gelegenen Punkt 
G in EG eine gerade Linie CG, so ist 
diese als Hypotenuse in dem rechtwink 
ligen ACEG immer gröfser als CE; der 
Punkt G liegt also aulserhalb des Kreises. 
Der weitläufige Beweis von Euklid, 
Satz 16 ist nicht erforderlich. 
26. Eine Tangente steht auf dem durch 
den Berührungspunkt gezogenen Durch 
messer normal. 
Denn gesetzt GE, (Fig. 771) wäre nicht 
normal EC, so fälle eine Normale CG 
auf EG. Dann ist ACGE = R, folglich 
in dem rechtwinkligen A CEG die CE 
als Hypotenuse > CG; da aber der Punkt 
G in der Tangente aufserhalb des Krei 
ses liegt, so mufs CG>CE sein. 
27. Eine in dem Berührungspunkt auf 
einer Tangente errichtete Normale geht 
durch den Mittelpunkt. 
Denn ginge sie nicht durch C, Fig. 771, 
sondern etwa wie £0, und man zieht den 
Halbmesser CE, so ist nach dem vorigen 
Satz A CEG = R, also kann A OEG nicht 
R sein. 
28 Zwei nicht parallele Tangenten an 
einem Kreis bis zu ihrem Durchschnitts 
punkt verlängert sind gleich; die vom 
Durchschnittspunkt durch den Mittelpunkt 
gezogene gerade Linie ist normal auf der 
beide Berührungspunkte verbindenden 
Sehne und halbirt sie. 
Denn denkt man sich (Fig. 775) rechts 
von AD eine zweite Tangente DB' so